Feynmann - Feynmann 8

§ 3. Состояния с n бозе-частицами

Распространим наш результат на тот случай, когда имеются n частиц. Вообразим случай, изображенный на фиг. 2.4.

Фиг. 2.4. Рассеяние n частиц в близкие конечные состояния.

Есть n частиц а, b , с, . . . , которые рассеиваются в направлениях 1, 2, 3, . . . , п. Все n направлений смотрят в небольшой счет­чик, который стоит где-то поодаль. Как и в предыдущем параг­рафе, выберем нормировку всех амплитуд так, чтобы вероятность того, что каждая частица, действуя по отдельности, попадет в элемент поверхности dS счет­чика, была равна

|< > | 2 dS .

Сперва предположим, что частицы все различимы, тогда вероятность того, что n частиц будут одновременно зарегистрированы в n разных элементах поверхности, будет равна

Опять примем, что амплитуды не зависят от того, где в счет­чике расположен элемент dS (он считается малым), и обозна­чим их .просто а , b , с , .... Вероятность (2.15) обратится в

Прогоняя каждый элемент dS по всей поверхности D S счет­чика, получаем, что Р n(разные) — вероятность одновременно зарегистрировать n разных частиц — равна

Это просто произведение вероятностей попаданий в счетчик каждой из частиц по отдельности. Все они действуют незави­симо — вероятность попасть для одной из них не зависит от того, сколько других туда попало.

Теперь предположим, что все эти частицы — идентичные бозе-частицы. Для каждой совокупности направлений 1, 2, 3, ... существует много неразличимых возможностей. Если бы, ска­жем, частиц было только три, появились бы следующие воз­можности:

Возникает шесть различных комбинаций. А если частиц n , то будет n ! разных, хотя и не отличимых друг от друга, комбина­ций; их амплитуды положено складывать. Вероятность того, что n частиц будут зарегистрированы в n элементах поверхности, тогда будет равна

│ a 1 b 2 c 3 … + a 1b 3c 2… + и т. д. +│ 2 dS 1 dS 2 dS 3 ... dS n . (2.18)

И снова мы предположим, что все направления столь близки друг к другу, что можно будет положить а 1=а 2= . . . . . . =а n = а и то же сделать с b , с, . . . ; вероятность (2.18) обратится в

| n ! abc ... | 2 dS 1 dS 2 ... dS n . (2.19)

Когда каждый элемент dS прогоняют по площади D S счет­чика, то всякое мыслимое произведение элементов поверхности считается n ! раз; учтем это, разделив на n !, и получим

или

Сравнивая это с (2.17), видим, что вероятность совместного счета n бозе-частиц в n ! раз больше, чем получилось бы в пред­положении, что все частицы различимы. Все это можно подыто­жить так:

Итак, вероятность в случае бозе-частиц в n ! раз больше, чем вы получили бы, считая, что частицы действовали независимо. Мы лучше поймем, что это значит, если спросим: чему равна вероятность того, что бозе-частица перейдет в некоторое состоя­ние, в котором уже находятся n других частиц? Обозначим добавленную частицу буквой w . Если всего, включая w , имеется ( n +1) частиц, то (2.20) обращается в

Это можно записать так: