Feynmann - Feynmann 5

(2.17)

или, решая относительно x и y,

(2.18)

(2.19)

Если всякая пара чисел преобразуется так же, как x и y, то она является компонентами вектора.

Рассмотрим теперь разницу в температурах двух сосед­них точек Р 1 и Р 2 (фиг. 2.6, б). В координатах х, у запишем

(2.20)

так как Dу = 0.

А в штрихованной системе? Там мы бы написали

(2.21)

Глядя на фиг. 2.6, б, мы видим, что

(2.22)

и

(2.23)

так как Dy отрицательно при положительном Dx. Подстав­ляя в (2.21), получаем

(2.24)

(2.25)

Сравнивая (2.25) с (2.20), мы видим, что

(2.26)

Это уравнение говорит нам, что дТ/дх получается из дТ/дх' и дТ/ду' в точности так же, как х из х' и у' в (2.18). Значит, дТ/дх — это x-компонента вектора. Сходные же рассуждения показывают, что дТ/ду и dT / dz суть у- и z-компоненты. Стало быть, С Т есть на самом деле вектор. Это векторное поле, обра­зованное из скалярного поля Т.

§ 4. Оператор С

А сейчас мы проделаем крайне занятную и остроумную вещь — одну из тех, которые так украшают математику. До­казательство того, что grad Т, или С T является вектором, не зависит от того, какое скалярное поле мы дифференцируем. Все доводы остались бы в силе, если бы Т было заменено любым скалярным полем. А поскольку уравнения преобразований одинаковы независимо от того, что дифференцируется, то можно Т убрать и уравнение (2.26) заменить операторным уравнением

(2.27)

Как выразился Джинс, мы оставляем операторы «жаждущими продифференцировать что угодно».

Так как сами дифференциальные операторы преобразуются как компоненты векторного поля, то можно назвать их компо­нентами векторного оператора. Можно написать

(2.28)

это означает, конечно,

(2.29)

Мы абстрагировали градиент от Т — в этом и есть остроумие. Конечно, вы должны все время помнить, что С — это опе­ратор. Сам по себе он ничего не означает. А если С сам по себе ничего не означает, то что выйдет, если мы градиент помножим на скаляр, например на T, чтобы получилось произведе­ние TС? (Ведь вектор всегда можно умножить на скаляр.) Это опять ничего не означает. Компонента х этого выражения равна

(2.30)

а это не число, а все еще какой-то оператор. Однако в согласии с алгеброй векторов Т С по-прежнему можно называть векто­ром.

А сейчас помножим С на скаляр с другой стороны. Полу­чится произведение С T . В обычной алгебре

(2.31)

но нужно помнить, что операторная алгебра немного отличается от обычной векторной. Надо всегда выдерживать правильный порядок операторов, чтобы их операции имели смысл. Тогда у вас трудностей не возникнет, если вы припомните, что опе­ратор y подчиняется тем же условиям, что и производные. То, что вы дифференцируете, должно быть поставлено справа от С Порядок здесь существен.

Если помнить о порядке, то сразу ясно, что Т С — это опе­ратор, а произведение С Т — это уже не «жаждущий» опера­тор, его жажда утолена. Это физическая величина, имеющая смысл. Он представляет собой скорость пространственного из­менения Т: x -компонента С Т показывает, насколько быстро Т изменяется в

x-направлении. А куда направлен вектор С Т? Мы знаем, что скорость изменения Т в каком-то направлении — это компонента С Т в этом направлении [см. (2.15)]. Отсюда следует, что направление С Т — это то, по которому С Т обла­дает самой длинной проекцией; иными словами, то, по которому С Т меняется быстрее всего. Направление градиента Т — это направление быстрейшего подъема величины Т.