Feynmann - Feynmann 2a

Мы уже сталкивались с уравнением (21.3), когда только начи­нали изучать механику. Мы решили его численно [см. вып. 1, уравнение (9.12)], чтобы найти движение. Численным интегри­рованием мы нашли кривую (см. фиг. 9.4, вып. 1), которая пока­зывает, что если частица m в начальный момент выведена из рав­новесия, но покоится, то она возвращается к положению рав­новесия. Мы не следили за частицей после того, как она достиг­ла положения равновесия, но ясно, что она на этом не остано­вится, а будет колебаться (осциллировать). При численном ин­тегрировании мы нашли время возврата в точку равновесия: t = 1,570. Продолжительность полного цикла в четыре раза боль­ше: t 0 =6,28 «сек». Все это мы нашли численным интегрирова­нием, потому что лучше решать не умели. Но математики дали в наше распоряжение некую функцию, которая, если ее про­дифференцировать дважды, переходит в себя, умножившись на -1. (Можно, конечно, заняться прямым вычислением таких функций, но это много труднее, чем просто узнать ответ.)

Эта функция есть: x = cost . Продифференцируем ее: dx / dt =- sint , a d 2 x / dt 2 =- w t =- x . В начальный момент t=0, x=1, а начальная скорость равна нулю; это как раз те пред­положения, которые мы делали при численном интегрирова­нии. Теперь, зная, что x = cost , найдем точное значение вре­мени, при котором z=0. Ответ: t = p /2, или 1,57108. Мы ошиб­лись раньше в последнем знаке, потому что численное интег­рирование было приближенным, но ошибка очень мала!

Чтобы продвинуться дальше, вернемся к системе единиц, где время измеряется в настоящих секундах. Что будет реше­нием в этом случае? Может быть, мы учтем постоянные k и т, умножив на соответствующий множитель cost? Попробуем. Пусть x = Acost , тогда dx / dt =- Asint и d 2 t / dt 2 =- Acost =- x . К нашему огорчению, мы не преуспели в решении уравнения (21.2), а снова вернулись к (21.3). Зато мы открыли важнейшее свойство линейных дифференциальных уравнений: если умно­жить решение уравнения на постоянную, то мы снова получим решение. Математически ясно — почему. Если х есть решение уравнения, то после умножения обеих частей уравнения на А производные тоже умножатся на A и поэтому Ах так же хорошо удовлетворит уравнению, как и х. Послушаем, что скажет по этому поводу физик. Если грузик растянет пружинку вдвое больше прежнего, то вдвое возрастет сила, вдвое возрастет ус­корение, в два раза больше прежней будет приобретенная ско­рость и за то же самое время грузик пройдет вдвое большее рас­стояние. Но это вдвое большее расстояние — как раз то самое расстояние, которое надо пройти грузику до положения равно­весия. Таким образом, чтобы достичь равновесия, требуется столько же времени и оно не зависит от начального смещения. Иначе говоря, если движение описывается линейным уравне­нием, то независимо от «силы» оно будет развиваться во вре­мени одинаковым образом.

Ошибка пошла нам на пользу — мы узнали, что, умножив решение на постоянную, мы получим решение прежнего уравне­ния. После нескольких проб и ошибок можно прийти к мысли, что вместо манипуляций с х надо изменить шкалу времени. Иначе говоря, уравнение (21.2) должно иметь решение вида

x=cos w 0t. (21.4)

(Здесь w 0— вовсе не угловая скорость вращающегося тела, но нам не хватит всех алфавитов, если каждую величину обозна­чать особой буквой.) Мы снабдили здесь w индексом 0, потому что нам предстоит встретить еще много всяких омег: запомним, что w 0соответствует естественному движению осциллятора. Попытка использовать (21.4) в качестве решения более успешна, потому что dx / dt =- ( w 0sin w 0t и d 2 x / dt 2 =- w 2 0 w s w 0 t =- w 2 0x. На­конец-то мы решили то уравнение, которое и хотели решить. Это уравнение совпадает с (21.2), если w 2 0 = k / m .

Теперь нужно понять физический смысл w 0. Мы знаем, что косинус «повторяется» после того, как угол изменится на 2я. Поэтому x = cos w 0 t будет периодическим движением; полный цикл этого движения соответствует изменению «угла» на 2p. Величину w 0 t часто называют фазой движения. Чтобы изменить w 0t на 2p , нужно изменить t на t 0 (период полного колебания); конечно, t 0 находится из уравнения w 0 t 0 = 2p. Это значит, что w 0t 0нужно вычислять для одного цикла, и все будет повто­ряться, если увеличить t на t 0 ; в этом случае мы увеличим фазу на 2p. Таким образом,