Журнал Наука и жизнь, 2000 № 04

tg(arcctg х) = 1/ctg(arcctg х) = 1/х

(sin arctg х/cos arctg x) = x

и sin 2(arctg x) + cos 2(arctg x) = 1.

Решая систему из двух последних уравнений, получим искомое тождество.

Обозначив левые части этих равенств соответственно через f 1(х) и f 2(х), а композицию этих функций f 1( f 2(х)) через f (х), получим:

f (N) = √(1 + N 2), откуда окончательно

f (N) = √(1 + N)

(или tg arcctg cos arctg √N = √(1 + N).

Полученная формула (опять-таки при необходимости ее надо применять несколько раз) позволяет выразить любую цифру через любую большую цифру, не применяя других, что, очевидно, исчерпывает задачу Ландау-Горобца. Возьмем, к примеру, один из «неподдающихся» номеров: 59–58. Тогда решение будет таким:

5 + √9 = 5 + f (8),

где f (8) = √9 = 3.

Разумеется, приведенный универсальный метод не единственный — можно было бы придумать еще несколько подобных. Однако все они так или иначе используют тригонометрические тождества. Поэтому интересно, усложняя задачу, попытаться найти общее «решение» игры, не используя тригонометрию.

Предлагаю одну из возможностей. Коль скоро разрешается пользоваться факториалом, то почему бы не воспользоваться знаками [] и {} соответственно целой и дробной части числа (как и факториал они не входят в программу обычных школ, но широко применяются в элементарной математике и, как правило, их проходят в «продвинутых» классах и школах). Напомню, что [ х ] — это наибольшее целое число, не превосходящее х (например, [4,32] = 4, [-2,8] = -3 и т. д.), а { x } = х — [ х ] (так, {1,2} = 0,2, {-0,6} = 0,4).

Введение только этих функций сразу дает несколько тривиальных решений нашей задачи. Например, достаточно взять дробную часть от обоих двузначных чисел и в результате получить в обоих случаях ноль.

А ведь можно еще использовать известные со школьной скамьи знаки модуля, длины вектора

(скажем, |√2; √7 | = √(2 + 7) = 3)

и так далее.

С. ФЕДИН.

Советы и подсказки одного из наших постоянных читателей, садовода со стажем Б. КОЛТОВОГО.

• Перед тем, как возиться с землей, поцарапайте ногтями кусочек мыла. Закончив работу, вымойте руки, и никакого «траура» под ногтями не останется.

• Не перекапывайте грядки в ветреную погоду: много влаги выветрится из почвы. Не надо тревожить землю и сразу после дождя, пусть вода уйдет поглубже.

• Весной, когда грядки на огороде уже приготовлены, заправлены удобрениями и политы, дождитесь, когда взойдут на них сорняки. Выщипните их и уже потом сейте семена овощей.

• Чтобы птицы не выклевывали посеянный горох, предварительно вымочите его в чесночном настое.

• Соцветия дельфиниумов будут крупнее, если весной оставить в каждом кусте 3–5 побегов, а остальные выломать у самого основания.

Дельфиниум— один из красивейших многолетников.

• При посадке ранней весной ярового чеснока отделяйте зубчики от головок непосредственно перед посадкой, иначе они могут потерять всхожесть.

• Сажая лук на перо, срезайте у луковиц самые макушки, и перо быстрее пойдет в рост.

• Чтобы избавиться на посадках лука от луковой мухи, во время весенней перекопки посолите грядку, а летом рассыпьте соль еще раз. Есть и другой способ: сажайте лук вперемежку с морковью: рядок лука, рядок моркови. Эти растения «обороняют» друг друга от вредителей.

Луковая муха.

• Если на огуречной грядке посадить подсолнечник, урожайность огурцов возрастет и плодоносить они будут дольше.

• Чтобы весеннему огороду не были страшны ночные заморозки, с вечера хорошенько пролейте грядки водой.

• Если место для посадки картофеля с осени было хорошо удобрено навозом, сажайте клубни покрупнее, а если навозу было добавлено мало, лучше воспользоваться клубнями поменьше, но сажать их надо в ряду почаще.

• Яблоню и вишню сажайте подальше одну от другой: их корни действуют друг на друга угнетающе.

• Если под яблоней посадить пижму или полынь, они защитят дерево от плодожорки. Защищает сад от вредителей и бузина.

• Чтобы малинный жук не портил ягод, в мае, до начала цветения, опылите кусты смесью табачной пыли с золой (1:1). Опыливать надо по сырым листьям, чтобы порошок приставал к ним.

Малинный жук.

• Мучнистая роса появляется в средней полосе на крыжовнике в конце мая — начале июня. Вот в эти дни, не дожидаясь, когда придет беда, опрысните кусты крыжовника зольным раствором. Один килограмм просеянной золы засыпьте в 10 литров теплой воды, неделю настаивайте, а потом осторожно слейте (без осадка) в чистое ведро, добавив в полученный раствор немного хозяйственного мыла. Опрыскивайте кусты трижды, через день.