Льюис Кэрролл - Льюис Кэрролл - Досуги математические и не только (ЛП)

Существует, далее, более короткая процедура получения «остатка-9» и «остатка-11» некоторого данного числа, чем моё правило вычитания (процедура нахождения «остатка-11» есть ещё одно моё открытие). Усвоив её, я 28 сентября 1897 года довёл моё правило до завершения (я записал точную дату, поскольку это так приятно — быть открывателем новой и, как я надеюсь, практически полезной истины).

(1) Правило нахождения частного и остатка от деления данного числа на 9.

Чтобы найти «остаток-9», суммируем цифры; затем суммируем цифры результата и так далее, пока не останется единственная цифра. Если она будет меньше 9, это и будет искомый остаток; если это будет 9, искомый остаток равен нулю.

Чтобы найти «частное-9», проводим черту под нашим числом и ставим его «остаток-9» под разрядом единиц; затем вычитаем верхнее из нижнего, ставя разность под следующей цифрой, и так далее. Если крайняя левая цифра нашего числа меньше, чем 9, при её вычитании мы должны получить в остатке 0; если же она равна 9, мы должны получить в остатке 1, поставить в нижнюю строку да вычесть 1 заимствованное, что даёт в остатке 0. Теперь отчеркнём наш «остаток-9» на правом конце нижней строки, и оставшееся в ней будет «частным-9».

Примеры.

(2) Правило нахождения частного и остатка от деления данного числа на 11.

Чтобы найти «остаток-11», начинаем от разряда единиц и суммируем первую, третью и т. д. цифры, а также вторую, четвёртую и т. д.; находим «остаток-11» по разности этих сумм. Если первая сумма — большая, полученное таким образом число и будет искомым остатком; если же первая сумма — меньшая, искомый остаток будет разностью между полученным числом и числом «11»; если суммы равны, он есть 0.

Чтобы найти «частное-11», проводим черту под нашим числом и ставим его «остаток-11» под разрядом единиц; затем вычитаем <���обычным порядком>, ставя разность под следующей цифрой, и так далее. Конечное вычитание должно дать в остатке 0. Теперь отчеркнём наш «остаток-11» на правом конце нижней строки, и оставшееся будет «частным-11».

Примеры.

Эти новые Правила имеют ещё одно преимущество перед правилом подлинного деления, а именно что конечное вычитание обеспечивает нас критерием корректности результата: если оно не даёт в остатке 0, суммирование выполнено неверно, а если даёт, то либо суммирование выполнено верно, либо мы допустили две ошибки, — случай редкий.

Математикам не нужно и говорить, что правила, аналогичные вышеизложенным, с необходимостью будут действовать и для таких делителей, как 99, 101, 999, 1001 и т. д. Единственное видоизменение, которое необходимо будет внести — это разбить данное число на периоды по две или более цифр и обращаться с каждым таким периодом точно так же, как вышеизложенные правила требовали поступать с отдельными цифрами. Вот, для примера, целиком решение, требуемое для деления двух данных чисел на 999 и на 1001:

В первом из этих примеров число 2|437, написанное поверх, есть сумма по периодам. Поскольку она содержит 2 периода, поступаем с ней тем же образом, и итог, число 439, есть «остаток-999».

Во втором примере число 1|2269, написанное поверх, есть сумма первого и третьего периодов; число же 1383 есть сумма второго и четвёртого. Разность этих сумм равна 10886, чей «остаток-10001» равен 885 [5].

§2. Делитель вида ( h 10 n ± k ), в котором по крайней мере одно из двух чисел, h и k , больше 1 [6]

Способ, к которому мы приступаем теперь, приложим к трём отличным случаям:

(1) когда h > 1, k = 1;

(2) когда h = 1, k > 1;

(3) когда h > 1, k > 1.

При определённых ограничениях в отношении величин h , k и n , этот Способ окажется более короткой и более надёжной процедурой, чем обычное деление столбиком. Ограничения эти таковы: ни h , ни k не должны превышать 12, и когда k > 1, n не должно быть меньше, чем 3; вне этих ограничений нашему Способу присущи трудности, которые делают предпочтительной обычную процедуру.

При данном Способе требуются две раздельные процедуры — одна предназначена для случаев, когда h > 1, другая же для случаев, когда k > 1. Первая из этих процедур была, я полагаю, впервые открыта мной, а вторая — моим племянником, мистером Бертрамом Дж. Коллингвудом, который сообщил мне свой Способ, пригодный для делителей вида 10 n – k .