Льюис Кэрролл - Придирки оксфордского прохожего

В свою очередь и Доджсон не пренебрегал созданием новых терминов, когда это казалось ему необходимым ( см., например, работу «Евклид и его современные соперники»).

Слово «иррациональный» тут, опять же, имеет двойной смысл. Употребляясь в качестве бытового синонима понятиям «неразумный», «противоречащий здравому смыслу» (и тогда символ π «пи» везде следует прочитывать как «пай»), это слово есть также особый термин теории чисел. Числа подразделяются, во-первых, нарациональные и иррациональные. Рациональные — это целые или дробные числа, как положительные, так и отрицательные, которые можно представить в виде m / n , где m и n — целые числа. Таким образом, рациональные числа — это числа, выражающие собой тоотношение, в котором одно целое число находится к другому целому числу. Иррациональные числа не способны выражать такие отношения точно ; но приближённо их можно заменить рациональным числом m / n , причём с любой степенью точности. В любом случае можно найти правильную или неправильную десятичную дробь, которая как угодно мало отличалась бы от данного иррационального числа. Самые простые и исторически первые известные иррациональные числа — это √2, ∛2 и другие, в том числе составные, вы раженияпод знаком корня; это так называемые иррациональные числа, выражающиеся через радикалы.

Иррациональность числа π доказал в 1767 г. Иоганн Ламберт, исследуя сходимость разложения в цепную дробь. Для получения численного значения числа π с заданной точностью разложением в каноническую цепную дробь применяли процесс многократного чередования двух действий, которые и в самом деле носили названия «получение достатка» и «обращение остатка»: достатком называется целая часть числа π (т. е. 3), а остатком — дробная (0,14159265…), обращение остатка есть запись последней в виде дроби 1/(7,062515…), у которой теперь достаток равен 7, аостаток, соответственно, 0,62515… и т. д. Тогда непрерывная каноническая цепная дробь, представляющая число π, записывается так:

π=3+1/(7+ 1/(15+ 1/(1+ 1/(292+⋯)))).

Числа, являющиеся корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами (а таково любое число, выражающееся в квадратных радикалах), называются алгебраическими числами. Во второй половине XIX века Георг Кантор доказал, что алгебраических чисел меньше, чем вещественных, из чего следовало, что должны существовать иррациональные числа, не являющиеся алгебраическими. Такие числа предвидел ещё Эйлер, назвавший их (в 1775 г.) трансцендентными, т. е. ‘выходящими за пределы’. Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел, однако, не позволяло назвать и тем более вычислить хотя бы одно трансцендентное число. Но затем (в 1871 г.) Эрмит доказал трансцендентность числа e . Число π является вторым числом в истории математики, для которого была установлена трансцендентность — Линдеманомв 1882 году.

Доджсон об этом ещё не знал; свой памфлет он написал в 1865 г. Однако тот факт, что, как трансцендентное, число π есть такое выражение пая, которое и невозможно свести к целочисленному значению наподобие 40, 400 и т. п. или ряду (числовой последовательности) целочисленных значений никаким алгебраическим преобразованием, является прекрасным дополнением к изложению истории потуг оксфордского истеблишмента.

Буквы HGL — это инициалы Генри Джорджа Лидделла, главы (декана) как собрания каноников Христовой Церкви, так и относящегося к ней колледжа (по отечественному словоупотреблению, его «ректора») . Доджсон говорит, что функция декана Лидделла в деле Джоветта заключалась в уступке давлению и отказе от моральных обязательств ради заявленной собранием каноников целесообразности (см. прим. [5]).

Здесь e — от англ. expediency, A — от Able, а E — от Enlightened. При переводе памфлета везде было важно сохранить обозначения абстрактных понятий по их первым английским буквам, поскольку эти буквы в дальнейшем складываются автором в инициалы участвовавших в деле Джоветтаперсон.

Математические методы, упомянутые выше, использовали медленно сходящиеся ряды либо сложные операции извлечения квадратного корня. Впервые быстро сходящийся ряд для вычисления числа π получил Леонард Эйлер (автор самого обозначения «π»), разложив в ряд Тейлора (частный случай — ряд Маклорена, см. ниже) арктангенсы формулы Джона Мэчина(1706) π/4 = 4 arctg(1/5) – arctg(1/239). Таким способом Эйлер получил число π с точностью до сто пятьдесят третьего знака.