Янник Гранек - Богиня маленьких побед

– Бесконечность, занимающая меня в данный момент, касается теории множеств. Это совсем другое.

– Какая нелепая мысль! Бесконечность она и есть бесконечность, и больше нее в мире ничего быть не может.

– Но бесконечность может быть больше, а может быть и меньше.

Курт аккуратно выложил в ряд три камешка, которые до этого подобрал на отмели:

– Это множество. Или, если тебе так больше нравится, кучка. Неважно, из чего она состоит, из камешков, из конфет, главное – рассматривать их в виде составных элементов.

Я встала, всем своим видом демонстрируя послушание и внимание. Усилия на педагогическом поприще Курт прилагал чрезвычайно редко.

– Я могу их сосчитать. Один, два, три. Таким образом, мы имеем множество, состоящее из трех элементов. Я могу разделить его на несколько подмножеств. Сложить белый камешек с серым; белый с черным; черный с серым; взять только белый; только серый; только черный; взять все три вместе и не взять ни одного. В целом получается восемь вариантов. Число подмножеств всегда превышает количество элементов, из которых это множество состоит.

– Пока мне все понятно.

– Если бы продолжительность твоей жизни составляла несколько столетий, ты смогла бы пересчитать на этой отмели все до единого камешки. И теоретически, если бы жила вечно, установила бы их точное количество… Но сколько бы их ни оказалось, всегда найдется число, превышающее это количество.

– Всегда найдется число, превышающее это количество.

Я покатала эти слова во рту, у них был какой-то особенный привкус.

– Даже если бы ты умела считать до бесконечности, всегда можно достичь бесконечности большей по сравнению с той, с которой ты столкнулась. И число подмножеств бесконечного множества всегда превышает количество элементов, из которых это бесконечное множество состоит. Точно так же, как количество возможных вариантов сочетаний этих трех камешков превышает три.

– Любопытное умопостроение!

– Чтобы ты могла проследить за моей мыслью дальше, я должен объяснить разницу между количественными и порядковыми числительными. Количественное числительное позволяет сосчитать элементы множества: всего у тебя три камешка. В то время как порядковое выстраивает эти элементы в определенном порядке, превращая их в первый, второй и третий камешки. Количественное числительное бесконечного множества «считает» число элементов в нем, но не располагает ни в каком порядке. «Количественность бесконечности» символизирует еврейская буква «алеф».

Он начертал на песке эзотерический символ «X» и вытер палец носовым платком. Я протянула ему сухой прутик, который он схватил с едва заметной улыбкой на лице, заменявшей ему благодарность.

– Три твои камешка воплощают собой натуральные числа. Они известны всем и каждому и используются для подсчета привычных нам предметов. 1, 2, 3 и так далее. Их в математике называют множеством «N».

Курт начертал на песке «N», обвел букву большим кругом и положил в него три камешка.

– Что ты хочешь этим сказать? Неужели существуют и другие?

Его смех мне очень понравился – он был таким редким явлением.

– В числе прочих, у нас есть целые числа: множество «Z». Целые числа определяются по отношению к нулю. Если целое число меньше нуля, к нему добавляется символ «—». Таким образом, «–1» меньше нуля, в то время как «1» – больше. Помнишь мы ехали в поезде? Тогда все говорили о температуре в «–50». Для полной ясности им нужно было сказать «–50» по отношению к той точке, которую шкала Цельсия определяет как нулевую температуру.

Он начертал вокруг первого второй круг, а вокруг них – еще один. Затем обозначил каждый из них элегантной заглавной буквой: «Z», а потом «Q».

– «Q» – это множество рациональных чисел, дробей типа «1/3» или «4/5».

– N, Z, Q… Бедная моя голова!

– Опираясь на элементарный здравый смысл, ты можешь прийти к выводу, что множество натуральных чисел «N» меньше множества целых чисел «Z». Множество чисел «1, 2, 3» меньше чем множество «1, 2, 3, – 1, –2, – 3». Аналогичным образом, множество целых чисел «Z» меньше множества рациональных чисел «Q». Множество «1, 2, 3, –1, – 2, – 3» меньше множества «1, 2, 3, – 1, – 2, – 3, 1/2, 1/3, 2/3, – 1/2, – 1/3 и так далее.». Все эти множества включены друг в друга. Натуральные числа представляют собой наименьшее множество, или, если тебе так больше нравится, кучку, а рациональные – наибольшую.

– Как кастрюли! Стало быть, для каждого из них существует своя бесконечность?