Янник Гранек - Богиня маленьких побед

– Ошибка! Количественность у них совершенно одинакова. Георг Кантор доказал это с помощью биективной функции в одном случае и посредством диагонального метода в другом. Но я тебя от этих выкладок избавлю.

– Твоя «количественность» для меня – китайская грамота.

На камень неподалеку от нас села любопытная чайка и стала взирать на меня с возмущенным видом птицы, к которой осмелился подойти человек.

– Ты меня не слушаешь, Адель!

– Слушаю, конечно! И что же получается в конечном счете? Все бесконечности равны друг другу? И сводятся к одной-единственной?

– Нет. По той причине, что существуют и другие. К примеру, множество действительных чисел «R». «Действительные» числа включают в себя «рациональные», то есть дроби, и «иррациональные», такие как число «П». Иррациональными их называют по той простой причине, что представить их в виде дроби не представляется возможным. Количество действительных чисел «R», иными словами бесконечное множество рациональных чисел, дополненное бесконечным множеством иррациональных чисел, заведомо больше. Это Кантор тоже доказал.

Вокруг трех предыдущих кругов он пунктиром изобразил еще один, поистине огромный. Чайка, прежде чем улететь, окинула его одобрительным взором.

– Бесконечность целых чисел «1, 2, 3», или «алеф-нуль», хотя подобная терминология и неверна, называется «счетной бесконечностью».

– Счетная бесконечность? Слишком самонадеянно, тебе не кажется?

– Самонадеянно, Адель, шутить в то время, когда я пытаюсь объяснить тебе сложный вопрос.

Я ударила себя в грудь, всем своим видом изображая покаяние.

– Если ты внимательно слушала с самого начала, тебе нетрудно будет понять, что число подмножеств этого «алеф-нуля» больше, чем сам «алеф-нуль». Число вариантов кучек, которые можно сложить из камешков, всегда больше количества самих камушков. Если верить Кантору, то множество таких частей биективно отражается на множество «R» действительных чисел [60]. Каждый элемент одного множества, с твоего позволения, находит себе соответствующую пару, подобно танцам на балу. Но этим этапом мои метафизические возможности исчерпываются.

Песок бухточки стал покрываться эзотерическими символами. Я огляделась по сторонам: какой-нибудь бдительный зевака вполне мог принять нас за шпионов.

– Если вкратце, Адель, то можно сделать вывод о том, что промежуточных бесконечностей между бесконечностью натуральных чисел и бесконечностью действительных чисел не существует… Точнее, не должно существовать. Если бы граница существовала, то она располагалась бы в промежутке между «N» и «R»: самой маленькой кучкой камней и той, которая содержит их все, но которую нельзя ими представить по той простой причине, что она не является счетной. О промежуточных множествах «Z» и «Q», как я тебе уже говорил, все забывают, путая их бесконечность с бесконечностью множества «N». Таким образом, мы одним прыжком совершаем переход от «дискретного» к «непрерывному». Это явление получило название континуум-гипотезы.

– Гипотезы? А твой Кантор ее что, не доказал?

– Ни он, ни кто-либо другой. Эта гипотеза представляет собой первейший из тех вопросов, которые Дэвид Гилберт сформулировал с целью консолидировать усилия математиков всего мира.

– Знаменитая программа, второй пункт которой был реализован тобой посредством теоремы неполноты? Тогда почему ты, человек столь педантичный и аккуратный, не начал с первого?

Впоследствии я узнала, что этот Кантор сошел с ума и умер. И тоже всю жизнь страдал от постоянных депрессий. Почему Курт встал на тот же самый призрачный, непонятный путь?

– Работы Кантора базируются на одной спорной аксиоме, известной как «аксиома выбора».

– Но ведь ты когда-то говорил мне, что аксиома – это непреложная истина!

Курт приподнял бровь:

– Твоя память, Адель, меня буквально поражает. В какой-то степени ты права, но эта истина в коробке с математическими инструментами стоит особняком. Сейчас у меня больше нет сил объяснять тебе все ее тонкости. Единственное, что тебе надо знать, это что использование некоторых подобных аксиом приводит нас к неразрешимым логическим парадоксам. Что вызывает сомнения в их легитимности.

– А всякие парадоксы ты ненавидишь.

– Я пытаюсь обосновать доказуемость континуум-гипотезы. Как с помощью непротиворечивых аксиом доказать ее ложность или истинность?

– Но ты же сам это доказал. Не каждая математическая истина может быть доказана!