Иван Дарушин - Финансовый инжиниринг - инструменты и технологии. Монография

где

– стандартное отклонение за период p;

p – длина периода в днях (календарных или рабочих).

Как уже было отмечено, использование формул (2.9) и (2.10) для расчета волатильности нужного срока основано на предположении о линейном распределении дисперсии во времени. Отметим, что это предположение выполняется только для нормального распределения доходности, которое на реальных рынках практически никогда не подтверждается. Кроме того, данный подход не в полной мере согласуется с экономическим содержанием ценового риска. По сути, получается, что риск большей длительности (напр., годовой) всегда в фиксированное число раз больше, чем риск меньшей длительности (напр., однодневный).

Для исключения этого противоречия можно использовать другой подход. Если у инвестора есть возможность использовать большое количество наблюдений за разные периоды времени, то волатильность других периодов (месяцев, годов и т. д.) лучше рассчитывать по данным, собранным с соответствующей периодичностью, так как предложенные формулы создают погрешности при расчетах. То есть для расчета годовой волатильности можно рассчитать стандартное отклонение по годовым замерам цены (доходности), но в этом случае нам необходимо достаточное количество наблюдений за рынком, проведенных с периодичностью в год, что не всегда выполнимо, тем более на формирующихся рынках. Выбор конкретного метода расчета волатильности необходимого срока зависит от оценки погрешностей, возникающих при переводах волатильностей меньшего срока в большие по сравнению с ухудшением качества показателя при возможном уменьшении количества наблюдений.

Итак, в традиционном подходе инвестор может использовать стандартное отклонение доходности как показатель волатильности (ценового риска) финансового инструмента. Однако данный показатель обладает рядом недостатков и допущений, которые необходимо принимать во внимание при его использовании.

Во-первых, в некотором смысле стандартное отклонение является показателем абсолютным. Это связано с тем, что он измеряется в тех же единицах, что и наблюдаемые величины, в данном случае – доходности. А это значит, что для относительно больших значений доходностей одного инструмента по сравнению с другим будет получено и большее значение стандартного отклонения (риска). В принципе это соответствует предположению о взаимосвязи риска и доходности. Однако в данном случае увеличение риска не будет связано с большей изменчивостью (волатильностью) цен. Другими словами, показатель дает некое абсолютное значение риска, которое не всегда может быть использовано для сравнения с величиной риска других инструментов. Избежать данного противоречия можно, если использовать в качестве основного любой относительный показатель, основанный на стандартном отклонении, напр. вариацию:

(2.11)

Данный показатель дает величину отклонений (риска) на единицу ожидаемой доходности, т. е. является относительным, а это позволяет проводить сравнение риска различных инструментов. При этом все остальные характеристики, свойственные стандартному отклонению, свойственны и для этого показателя. Данные соображения позволяют считать использование показателя вариации более оправданным по сравнению со стандартным отклонением. Однако все остальные недостатки стандартного отклонения также присущи и показателю вариации.

Отметим, что использование стандартного отклонения в качестве меры риска оправдано только в случае наличия достаточного количества достоверной статистической информации. И в самом деле, при небольших размерах выборки рассчитанная величина будет обладать большой погрешностью, не давая верной характеристики изучаемого объекта. Данный недостаток может быть устранен путем налаживания своевременного поступления дополнительной информации с рынка. При этом увеличение размера выборки должно улучшать итоговые значения показателей.

Недостаточное время наблюдений заставляет также использовать приблизительные оценочные расчеты для оценки риска иного периода, чем период наблюдений. Именно последнее соображение приводит нас к еще одному противоречию. Обратим еще раз внимание на формулу (2.10). Как мы видим, стандартное отклонение за период возрастает по мере увеличения периода (по сравнению с периодом наблюдений). Так, если мы проводим ежедневные наблюдения, то годовая волатильность будет отличаться от дневной в раз. Другими словами, получается, что волатильность возрастает со скоростью , где p – длина периода. Отметим, что рассмотренная ситуация является характерной, т. к. в большинстве случаев нам приходится делать выводы о риске на более длительный период, чем периодичность наблюдений. С математической точки зрения, в таком пересчете показателей нет никаких недостатков.