Хакеры сновидений - Архив 1-6

Будем предполагать, что существует три валентности: 1, 2, 3 и две симпатии: a, b. Таблицу их комбинаций будет иметь вид:

_| a | b |

1|1a|1b|

2|2a|2b|

3|3a|3b|

При таком наборе символов базовая (то есть “единичная“) перестановка будет иметь следующий вид:

|1a2a3a1b2b3b|

|1a2a3a1b2b3b|

или же:

|1a 2a 3a 1b 2b 3b|

|1a 2a 3a 1b 2b 3b|.

“Циклы перестановок. Разложение перестановок на произведение независимых (непересекающихся) циклов“.

1. Рассмотрим единичную (базовую) перестановку:

|1a 2a 3a 1b 2b 3b|

|1a 2a 3a 1b 2b 3b|

Что вообще означает эта таблица?!

По сути, она обозначает правила переходов символов, то есть более подробней она говорит вот о каких переходах:

1a -> 1a,

2a -> 2a,

3a -> 3a,

1b -> 1b,

2b -> 2b,

3b -> 3b.

Как видим, она оставляет все символы неизменными, что и оправдывает её название как “единичная“.

Данные переходы символов можно записать более компактней, а именно вот в таком вот виде:

|1a 2a 3a 1b 2b 3b| _

|1a 2a 3a 1b 2b 3b| ~ (1a)(2a)(3a)(1b)(2b)(3b).

Каждая такая круглая скобка образует некий циклический переход, например:

“(1a)“ -- представляет собой переход типа: 1a -> 1a -> 1a ->... и так далее по циклу бегаем.

Данные циклические переходы кратко называются “циклом“. Количество символов (в нашем случае карт!) внутри цикла называется длиной цикла. Здесь представлены цыклы длиной равной “1“.

2. Рассмотрим далее перестановку следующего вида:

|1a 2a 3a 1b 2b 3b|

|3a 1a 3b 2b 1b 2a|.

Что обозначает эта перестановка как таблица!? Она показывает, что осуществляются переходы следующего типа:

1a -> 3a,

2a -> 1a,

3a -> 3b,

1b -> 2b,

2b -> 1b,

3b -> 2a.

Если взглянуть более пристально, то можно обратить внимание что здесь имеются два циклических перехода: 1a->3a->3b->2a->1a->3a->... и 1b->2b->1b->... Таким образом, перестановка разлогается на произведение двух циклов:

|1a 2a 3a 1b 2b 3b| _

|3a 1a 3b 2b 1b 2a| ~ (1a 3a 3b 2a)(1b 2b).

Как иначе можно представить каждый такой цикл в виде перестановки?! Четырёхсимвольный цикл (длины “4“) представляется как:

|1a 2a 3a 1b 2b 3b| _

|3a 1a 3b 1b 2b 2a| ~ (1a 3a 3b 2a).

! Обратите внимание что 4-ый и 5-ый стоблики перестановки не изменяют символа. По идее, конечно, мы должны были бы данные столбцы также рассматривать как циклы длины “1“, тогда наша перестановка представится:

|1a 2a 3a 1b 2b 3b| _

|3a 1a 3b 1b 2b 2a| ~ (1a 3a 3b 2a)(1b)(2b),

однако в теории перестановок принято опускать такие односимвольные циклы при записи, что мы и будем также проделывать.

Двухсимвольный цикл же представляется следующей перестановкой:

|1a 2a 3a 1b 2b 3b| _

|1a 2a 3a 2b 1b 3b| ~ (1b 2b).

Необходимо отметить важное свойство разложения перестановки: “циклы в разложении можно переставлять местами“. Проверим это утверждение!

|1a 2a 3a 1b 2b 3b| _ |1a 2a 3a 1b 2b 3b| |1a 2a 3a 1b 2b 3b| _ |1a 2a 3a 1b 2b 3b| |1a 2a 3a 1b 2b 3b|

|3a 1a 3b 2b 1b 2a| ~ |3a 1a 3b 1b 2b 2a| |1a 2a 3a 2b 1b 3b| ~ |1a 2a 3a 2b 1b 3b| |3a 1a 3b 1b 2b 2a|.

Действительно, в разложении циклы можно переставлять местами:

|1a 2a 3a 1b 2b 3b| _

|3a 1a 3b 2b 1b 2a| ~ (1a 3a 3b 2a)(1b 2b) = (1b 2b)(1a 3a 3b 2a).

Иными словами, циклы в произведении коммутируют друг с другом, то есть наблюдается упомянутое ранее свойство абелевости или коммутативности, когда имее место: AB=BA.

Примечание!

Анализируя свойства циклов, описывающих отдельные группы циклических переходов символов, а также свойства разложений перестановок, можно утверждать что циклы представляют собой независимые, непересекающиеся перестановки.

3. Рассмотрим далее перестановку следующего вида:

|1a 2a 3a 1b 2b 3b|

|2a 3b 2b 3a 1a 1b|.

Она определяет лишь один единственный циклический переход символов: 1a->2a->3b->1b->3a->2b.

Таким образом, эту перестановку можно разложить или точнее представить лишь одним 6-и символьным циклом:

|1a 2a 3a 1b 2b 3b| _

|2a 3b 2b 3a 1a 1b| ~ (1a 2a 3b 1b 3a 2b).

Замечание!

Надо отметить, что точно такую же перестановку порождает не только цикл: (1a2a3b1b3a2b), но также и ряд других циклов: (3a2b1a2a3b1b), (2b1a2a3b1b3a), (2a3b1b3a2b1a), (3b1b3a2b1a2a), (1b3a2b1a2a3b), (3a2b1a2a3b1b), отличающиеся друг от друга лишь сдвигом символов (карт) в круглых скобках по кругу вправо или влево, когда крайний символ (карта) выталкивается как-будто бы на другой конец.