Хакеры сновидений - Архив 1-6

P.S.

В своём описании я не буду касаться слишом сложных, но тем не менее, очень интересных результатов теории групп, а лишь затрону некоторые закономерности. Моя задача не развить теорию ЦС на основе симметрических групп, а скорее привлечь внимание к важности операций с ЦС и проблемме симметрии различных ЦС. :)

Итак, что же представляет собой “группа ЦС“? Здесь мы будем понимать под группой ЦС некоторое множество перестановок или табличек вида:

|1a 2a 1b 2b|

|1b 2b 2a 1a|,

где понятно что нижняя строка может принимать всевозможные структуры перестановки символов: 1a, 2a, 1b, 2b.

Причём данное множество перестановок должно будет обладать всего тремя свойствами:

1. Операция композиции (то есть символ “*“) ассоциативна: (P1*P2)*P3 = P1*(P2*P3).

2. Существует единичная перестановка “E“, для которой верно: P*E = E*P = P.

3. Для каждой перестановки “P“ существует обратная перестановка “`P“, такая что: P*(`P) = `P*P = E.

Проверим теперь действие трёх этих свойств на примере симметрической группы 4-ого порядка. Аналогично всё и для реального ПМ, то есть группы 36-ого порядка.

I. В первую очередь проверим ассоциативность трёх перестановок:

|1a 2a 1b 2b|

|2b 1b 2a 1a|,

|1a 2a 1b 2b|

|2b 2a 1a 1b|,

|1a 2a 1b 2b|

|1a 2b 2a 1b|.

Перемножим первые две перестановки (мы это уже проделывали):

|1a 2a 1b 2b| |1a 2a 1b 2b| _ |1a 2a 1b 2b|

|2b 1b 2a 1a| |2b 2a 1a 1b| ~ |1a 1b 2b 2a|;

затем полученный результат умножим на третью перестановку:

|1a 2a 1b 2b| |1a 2a 1b 2b| _ |1a 2a 1b 2b|

|1a 1b 2b 2a| |1a 2b 2a 1b| ~ |1a 2a 1b 2b|.

Перемножим теперь альтернативным способом. Для этого перемножим вначале 2-ю и 3-ю перестановки:

|1a 2a 1b 2b| |1a 2a 1b 2b| _ |1a 2a 1b 2b|

|2b 2a 1a 1b| |1a 2b 2a 1b| ~ |2b 1b 2a 1a|,

а затем первую перестановку умножим на результат умножения 2-й и 3-й:

|1a 2a 1b 2b| |1a 2a 1b 2b| _ |1a 2a 1b 2b|

|2b 1b 2a 1a| |2b 1b 2a 1a| ~ |1a 2a 1b 2b|.

Итак, в обоих случаях мы использовали различные схемы группировки скобок при композиции и получали всегда один и тот же неизменный результат:

|1a 2a 1b 2b|

|1a 2a 1b 2b|.

Значит композиция перестановок действительно ассоциативна!

P.S.

То что при результирующем умножении получилась единичная (или базовая) перестановка -- это всего лишь приятное совпадение, которым мы воспользуемся в третьем свойстве.

II. Во второую очередь проверим свойство единичной перестановки:

|1a 2a 1b 2b|

|1a 2a 1b 2b|

на примере любой другой, скажем вот на этой:

|1a 2a 1b 2b|

|1a 2b 2a 1b|.

Итак, перемножая единичную перестановку на произвольную другую, изменяя при этом порядок композиции, получаем:

|1a 2a 1b 2b| |1a 2a 1b 2b| _ |1a 2a 1b 2b| |1a 2a 1b 2b| _ |1a 2a 1b 2b|

|1a 2a 1b 2b| |1a 2b 2a 1b| ~ |1a 2b 2a 1b| |1a 2a 1b 2b| ~ |1a 2b 2a 1b|.

Таким образом, композиция единичной перестановки с любой иной перестановкой, всегда коммутативна и в результате дает эту же перестановку.

III. В третью очередь отыщем обратные перестановки. Рассмотрим следующую перестановку:

|1a 2a 1b 2b|

|1a 1b 2b 2a|.

Мы уже знаем что её композиция с перестановкой:

|1a 2a 1b 2b|

|1a 2b 2a 1b|

дает единичную перестановку, то есть:

|1a 2a 1b 2b| |1a 2a 1b 2b| _ |1a 2a 1b 2b|

|1a 1b 2b 2a| |1a 2b 2a 1b| ~ |1a 2a 1b 2b|,

следовательно обратной для нашей будет перестановка вида:

|1a 2a 1b 2b|

|1a 2b 2a 1b|.

Прверяем также свойство коммутативности взаимообратных перестановок:

|1a 2a 1b 2b| |1a 2a 1b 2b| _ |1a 2a 1b 2b|

|1a 2b 2a 1b| |1a 1b 2b 2a| ~ |1a 2a 1b 2b|.

Действительно имеет место коммутативность (абелевость).

Итак, нам удалось показать, что перестановки удовлетворяют трём основным свойствам, предъявляемым группам. Таким образом, множество перестановок образует группу, называемую симметрической группой. В нашем примере исследовалась симметрическая группа 4-ого порядка!

nexus

604,

>Кстати может ли человек вести несколько параллельных ЦС..? >

Если бы ты спросил про вложенные ЦС, то я бы сказал что да, но если две ЦС одинакового уровня вложенности, то я не знаю. :( Я просто пока не понимаю как это! Наверное как только смогу представить себе такой вариант, хотя-бы гипотетически, тогда попробую однозначно ответить на твой вопрос, но пока теряюсь в догатках. :(((

604

Всё, более-менее разобрался. Ранее не был знаком с этим видом преобразований. Могу заметить, что базис не играет тут никакой роли, и вкачестве него может выступать хотябы набор цифр от 1 до 36!