Francisco José Correa Zabala - Métodos numéricos

2.8.1 Errores inherentes

2.8.2 Errores de truncamiento

2.8.3 Error de redondeo

2.9 Propagación de errores

2.9.1 Propagación de errores en cálculos

2.10 Métodos y algoritmos numéricos

2.10.1 Del método numérico a los algoritmos

2.10.2 Estabilidad de los algoritmos

2.10.3 Criterios para detener un proceso computacional

3 Ecuaciones de una variable

3.1 Preliminares

3.1.1 Significado de resolver una ecuación de una variable

3.1.2 ¿Qué se necesita para resolver ecuaciones de una variable?

3.2 Métodos para determinar aproximaciones iniciales

3.2.1 Las condiciones del problema

3.2.2 Gráfica de la función asociada a la ecuación

3.2.3 Búsquedas incrementales

3.3 Métodos por intervalos o cerrados

3.3.1 Método de la bisección

3.3.2 Regla falsa

3.4 Métodos abiertos

3.4.1 Punto fijo

3.4.2 Método de Newton

3.4.3 Método de la secante

3.4.4 Método de las raíces múltiples

3.5 Análisis comparativo de la convergencia

4 Sistemas de ecuaciones lineales

4.1 Preliminares

4.1.1 ¿Qué significa resolver un sistema de ecuaciones?

4.1.2 Tipos especiales de matrices

4.2 Métodos directos

4.2.1 Eliminación gaussiana simple

4.2.2 Análisis del método de la eliminación gaussiana simple

4.2.3 Eliminación gaussiana con pivoteo parcial

4.2.4 Eliminación gaussiana con pivoteo total

4.2.5 Factorización de matrices

4.2.6 Factorización LU con eliminación gaussiana simple

4.2.7 Factorización LU con pivoteo parcial

4.2.8 Factorización directa de matrices

4.3 Métodos basados en tipos especiales de matrices

4.4 Métodos iterativos

4.4.1 Normas en espacios vectoriales

4.4.2 Métodos iterativos con matrices

4.4.3 Algoritmos de los métodos

4.5 Métodos de relajación

5 Interpolación

5.1 Preliminares

5.2 Método basado en sistemas de ecuaciones

5.3 Polinomio interpolante de Newton

5.4 Diferencias divididas

5.5 Polinomio interpolante de Lagrange

5.6 Método de Neville

6 Integración numérica

6.1 Método del trapecio

6.2 Método compuesto del trapecio

6.3 Método de Simpson 1/3

6.4 Método compuesto de Simpson 1/3

6.5 Método de Simpson 3/8

7 Ecuaciones diferenciales

7.1 Preliminares

7.1.1 Existencia y unicidad de las soluciones

7.2 Método de Euler

7.2.1 Análisis del error en el método de Euler

7.3 Métodos de Taylor de orden superior

7.4 Método de Heun

7.4.1 Análisis del error en el método de Heun

7.4.2 Otra forma de explicar el método de Heun

7.5 Métodos de Runge-Kutta

7.5.1 Runge-Kutta de orden 2

7.5.2 Runge-Kutta de orden 3

7.5.3 Runge-Kutta de orden 4

Bibliografía

Notas al pie

1 Etapas en la solución de un problema

2 Fuentes de error

3 Algunos relojes usados para medir el tiempo

4 Relación entre el error y la calidad de las cifras

5 Esquema de almacenamiento de un número real

6 Límites de almacenamiento en la recta real

7 Distribución de los números máquina

8 Tipos de error

9 Propagación de errores

10 Raíces de una ecuación

11 Valores iniciales

12 Existencia de raíces de una ecuación

13 Búsquedas incrementales

14 Aplicación del método de búsquedas incrementales

15 Método de la bisección

16 Método de la regla falsa

17 Método de punto fijo

18 Método de punto fijo

19 Análisis de convergencia del método de punto fijo

20 Explicación gráfica del método de Newton

21 Explicación gráfica del método de la secante

22 Comparación del polinomio interpolante de una función

23 Método del trapecio

24 Método del trapecio generalizado

25 Método del trapecio

26 Método de Simpson 1/3 generalizado

27 Método del trapecio

28 Solución de y ′ = x 2 / 9 − 2

29 Solución de y ′ = x 2 / 9 − 2 con y (0) = 2

30 Explicación gráfica del método de Euler

31 Solución de

1 Competencias especificas para desarrollar en el curso

2 Métodos para la solución de un problema

3 Competencias especificas desarrolladas en el Capítulo 3

4 Tabla de ejecución del método de la bisección

5 Tabla de resultados del método de la secante

6 Tabla de ejecución del método de Jacobi

7 Tabla de ejecución del método de Gauss Seidel

8 Tabla de ejecución del método de relajación con ω = 1

9 Tabla de ejecución del método de relajación con 1 < ω < 2

10 Polinomio de Newton con diferencias divididas

11 Ejemplo del polinomio de Newton con diferencias divididas

12 Método de Neville

13 Ejemplo del método de Neville

14 Ejemplo del método de Euler

15 Ejemplo del método de Heun

1 Épsilon de la máquina

2 Cálculo del menor número positivo

3 Método de búsquedas incrementales

4 Método de la bisección

5 Método de punto fijo

6 Método de Newton

7 Método de la secante

8 Macro algoritmo de la eliminación gaussiana simple

9 Eliminación gaussiana sin intercambio de filas

10 Sustitución regresiva

11 Estructura de eliminación gaussiana con pivoteo

12 Estructura de eliminación gaussiana con pivoteo parcial

13 Estructura de eliminación gaussiana con pivoteo total

14 Estructura básica de un método factorización de matrices

15 Factorización de matrices con pivoteo parcial

16 Factorización LU con pivoteo parcial

17 Factorización directa de matrices

18 Factorización de matrices para varios sistemas de ecuaciones

19 Factorización de matrices para varios sistemas de ecuaciones

20 Eliminación gaussiana simple para sistemas tridiagonales

21 Eliminación gaussiana para sistemas tridiagonales

22 Método de Jacobi

23 Iteración de método de Jacobi

24 Iteración del método de Gauss Seidel

A mi Marta, mi familia, mis amigos, mis profesores mis alumnos...

En el momento de entregar a la comunidad un producto como éste, uno no deja de pensar en las personas que de algún modo tuvieron que ver con su logro. Son muchas las dificultades, las largas horas de trabajo, los éxitos, los fracasos..., en fin; son muchas las cosas que pasan alrededor de una experiencia, que por encima de todo, es de lo mejor que he vivido. Tengo que agradecer a mi esposa, Marta, quien me ha acompañado en todo momento, siendo mi soporte y apoyo. A mi familia y mis amigos, a quienes he descuidado, pero que están ahí, siempre conmigo. A la Universidad EAFIT y en su nombre a todos los directivos que en alguna medida me han apoyado para desarrollar este producto. A mis profesores, quienes han dejado una huella en mi formación como persona y profesional; parte de sus enseñanzas y criticas están plasmadas en el texto. Al doctor Carlos Enrique Mejía Salazar, quien con su apoyo, su amistad, asesoría en mi sabático y sus sabios consejos hace realidad esta obra. A mis alumnos, con los cuales durante los años de experiencia en los cursos relacionados con este texto me han hecho aportes para desarrollar las ideas y estrategias que lo guían.