Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Все эти вычисления показывают, что g 10и g 20настолько близки к целым числам, что практически ими являются. Что именно здесь происходит? Посмотрите на последовательность Люка́

названную в честь французского математика Эдуарда Люка (1842–1891) – первооткрывателя многих удивительных свойств этих чисел, а заодно и чисел Фибоначчи, включая формулу с наибольшим общим делителем, о которой мы не так давно говорили. Кстати, именно Люка впервые назвал набор чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8… последовательностью Фибоначчи. Последовательность же Люка соответствует его собственной (несколько упрощенной) версии формулы Бине –

Другими словами, при n ≥ 1 L nесть целая ближайшая к g n величина (что согласуется с тем, что мы уже видели: g 10≈ 123 = L 10). А вот как связаны между собой последовательности Фибоначчи и Люка:

Не заметить здесь закономерность почти невозможно. Например, сложение «соседей» числа Фибоначчи дает соответствующее ему по позиции число последовательности Люка:

А если мы сложим «соседей» числа из последовательности Люка, получим результат, который будет ровно в 5 раз больше соответствующего ему по позиции числа Фибоначчи:

Если перемножить между собой соответствующие друг другу числа двух последовательностей, мы получим еще одно число последовательности Фибоначчи!

Последнее может быть доказано с помощью алгебры и формул Бине (а именно ( x – y )( x + y ) = x ² – y ²). Исходя из h = (1 – √ 5 )/2, представим формулы Бине для чисел Фибоначчи и Люка в виде

И когда мы их перемножаем, получается

Откуда пришло название «золотое сечение»? Из золотого прямоугольника, в котором соотношение длинной и короткой сторон составляет g = 1,61803…

Если обозначить короткую сторону единицей и убрать из прямоугольника квадрат со сторонами 1 на 1, у нас останется еще один прямоугольник со сторонами 1 и ( g – 1), соотношение которых составит

То есть пропорции маленького прямоугольника будут такими же, как и большого. Кстати, g – единственное в своем роде число со столь уникальными свойствами, потому что уравнение подразумевает, что g ² – g – 1 = 0. А формула корней квадратного уравнения приводит нас только к одному положительному числу, удовлетворяющему этому условию, и число это – (1 + √ 5 )/2 = g .

Благодаря этому своему свойству золотой прямоугольник считается эстетически образцовым, а потому часто используется в разных областях искусства, будь то живопись, фотография или архитектура. Например, Лука Пачоли [14] – друг и соратник Леонардо да Винчи называл его «божественной пропорцией».

Золотое сечение лежит в основе стольких удивительных математических явлений, что подчас очень сложно удержаться от соблазна увидеть его даже там, где его нет и никогда не было. Например, в романе «Код да Винчи» Дэн Браун пишет, будто число 1,618 встречается везде и всегда, и подтверждение тому – строение человеческого тела, Браун утверждает, что отношение нашего роста к высоте, на которой расположен пупок, – 1,618. Я не проводил измерений, но в статье Джорджа Марковски «Выдумки о золотом сечении», опубликованной в журнале College Mathematics Journal , говорится, что это не соответствует реальности. Тем не менее каждый раз, когда где-то встречается число, хоть сколько-то близкое к 1,6, кто-нибудь вспоминает о золотом сечении.