Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Начиная, например, с дробей 1/3 и 1/2, для которых медианта будет 2/5, она расположена в интервале 1/3 < 2/5 < 1/2.

Почему медианта всегда будет располагаться примерно между изначальными числами? Если мы начинаем с дробей где b и d – положительные величины, ad будет меньше bc . Прибавив к обеим сторонам ab , получим ab + ad < ab + bc или a ( b + d ) < ( a + c ) b , что значит, что Таким же образом приходим к

Обратите внимание, что при x, y > 0

Следовательно, медианта этих двух дробей должна находиться между ними. Другими словами,

Вот почему частное чисел из 10 и 9 рядов должно начинаться с 1,61, как мы уже до этого и посчитали.

Прежде чем открыть секрет числа 1,61, можете поразить свою аудиторию, постоянно добавляя числа к своей таблице. Так, в нашем примере, где мы начали с 3 и 7, достаточно беглого взгляда, чтобы узнать результат – 781. Как? С помощью алгебры. Если сложить значения из 2 таблицы, мы получим сумму, равную 55 x + 88 y . И что? А то, что вместо этого можно написать 11(5 x + 8 y ) = 11 × ряд 7. Поэтому, взяв число из 7 ряда (в нашем примере это 71) и умножив его на 11 (здесь можно использовать фокус с умножением на 11 из главы 1), получим 781.

В чем важность числа 1,61? Если не останавливаться на 10 ряду и продолжать расширять таблицу, вы легко обнаружите, что частное двух соседних чисел будет от ряда к ряду все больше приближаться к значению, которое называют «золотым сечением» –

Кроме g , для обозначения этого числа математики часто используют греческую букву φ , которая произносится как «фи» (да-да, «Фи-боначчи»).

Алгебра покажет нам, на самом ли деле частное двух соседних чисел последовательности Фибоначчи приближается к g . Предположим, что частное F n+1/ F nприближается к значению r при увеличении n. Но ведь о числах Фибоначчи мы знаем, что F n+1= F n+ F n–1, поэтому

При увеличении значения n левая сторона приближается к r , а правая – к Значит,

Умножив обе стороны этого уравнения на r , получим

Другими словами, r ² – r – 1 = 0, а согласно формуле корней квадратного уравнения здесь имеется только один положительный ответ:

Существует еще одна будоражащая воображение формула для n -ного числа последовательности Фибоначчи, которая использует золотое сечение. Это формула Бине, которая говорит, что

Глядя на нее, я не перестаю удивляться: как такое возможно, что вся эта формула, построенная вокруг √ 5 , приводит к целым величинам?!

Мы можем ее немного упростить, потому что значение

находится между –1 и 0, и чем больше мы увеличиваем степень, тем больше оно приближается к 0. По большому счету, можно утверждать, что для любого n ≥ 0, F nвычисляется через g n/√ 5 с последующим округлением до ближайшего целого. Можете взять калькулятор и проверить. Если взять g = 1,618, то, возведя 1,618 в десятую степень, получим 122,966… (что подозрительно близко к 123). А разделив этот результат на √ 5 ≈ 2,236, придем к 54,992. Округление даст F 10= 55 – известный нам результат. Из g 20получается 15 126,99993, которое после деления на √ 5 превращается в 6765,00003, то есть F 20= 6765. А калькулятор легко проведет нас от g 100/√ 5 к F 100≈ 3,54 × 10 20.