Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Легенды о его детстве в Сан-Ремо описывают Джироламо всегда с книгой Евклида «Элементы» под рукой, даже во время игры. То, что он часто открывал книгу и просматривал содержание, становится очевидно из его последующей жизни. До того как ему исполнилось двенадцать лет, Саккери уже распрощался со свободой мысли на всю оставшуюся жизнь. Он стал преданным рабом Евклида, ублажая свою веру во вред разуму. Если это и несправедливая оценка интеллектуальной жизни Саккери, то, может быть, он сам пожелал, чтобы его наставники сформировали его таким.

В остальном Саккери был также не по годам развит. В возрасте десяти лет он уже хорошо разбирался в устном счете. К одиннадцати годам он глубоко погрузился в философию, а еще глубже в шахматы, в них он был лучше чем просто хороший игрок. В восемнадцать лет он ушел с головой в теологию и начал успешное продвижение на пути к карьере уважаемого профессора-иезуита. В 1690 году, в возрасте двадцати трех лет, после окончания послушничества Джироламо был направлен учителями в иезуитский колледж в Милане в качестве преподавателя риторики, философии, теологии. После нескольких последовательных назначений на более выгодные преподавательские должности он стал профессором математики в университете города Павия.

Саккери был плодотворным автором. Закрыв глаза на его эпохальный провал с попыткой возродить абсолютизм Евклида, его основные работы можно расценить как логичные. Проникновенная острота его ума видна также (по мнению компетентных судей) в работах Саккери по теологии. Запутанная проблема Божьей благодати, например, потребовала напряжения всех познаний в казуистике, преж де чем приемлемое решение было найдено.

Разглядеть природу величайшего достижения Саккери несложно. Как уже было сказано, она связана с решающим поворотным моментом в эволюции геометрической истины и в концепции «математической реальности». По этой причине она заслуживает некоторых размышлений.

Если любое из двух предположений подразумевает другое, то говорят, что предположения эквивалентны. Иными словами, предположения А, В эквивалентны, если А подразумевает В, а В подразумевает А. Если одно из предположений доказано, следовательно, доказано и второе.

Вернемся к пятому постулату Евклида, который является предположением о существовании параллельных прямых. Он намного сложнее любых других постулатов Евклида, и если Евклидова геометрия рассматривается как абстракция чувственного опыта, то нет видимых причин поверить, что пятый постулат должен быть универсальной истиной в этом опыте. Следует установить, что при измерении, например, очень больших расстояний, какие бывают в астрономии, опыт может противоречить отдельным эквивалентам пятого постулата. Один такой эквивалент – полезное предположение, которое Декарт рассматривал как вечную неизбежность: сумма углов любого плоского треугольника равна двум прямым углам. Гаусс, как ни странно, предполагал астрономический тест этому предположению как средство для принятия решения, является ли геометрия Евклида правильным мерилом «пространства», определенного для опыта. По причинам, в которые лучше не вникать, опыт никогда не был проведен, а если бы это случилось, он бы не был достаточно тщательно проведен, чтобы урегулировать проблему.

Еще более достоверный эквивалент пятому постулату Евклида, чем предшествующий, был замечен Саккери. Это одно из трех взаимоисключающих предположений, исчерпывающих возможности для параллельных линий. Вместо эквивалента Саккери, увидеть суть вопроса можно в еще более упрощенном и более достоверном эквиваленте постулата Евклида, а следовательно, и Саккери.

Точка р и прямая линия l, не проходящая через точку р, задают одну плоскость в пространстве. Представим пучок всех (прямых) линий, лежащих на данной плоскости и проходящих через точку р. Существует три варианта: только одна линия из всего пучка не пересечет l, более чем одна линия из пучка пересечет l, ни одна линия не пересечет l.

Первый из этих трех вариантов эквивалентен пятому постулату Евклида. Он также эквивалентен предположению, которое Саккери обязался вывести из другого предположения Евклида. Ему пришлось убедить себя, что второй и третий варианты (и даже их относительные эквиваленты) приводят к противоречию. По очереди из каждого он выводил цепочку рассуждений. Пока он верил своим дедуктивным рассуждениям и придерживался желания поверить в зависимость, он не мог достичь желанного противоречия в неевклидовых эквивалентах. Его строгая логика ничего не выводила, кроме непротиворечивости. Этого не могло быть.