Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Прежде чем проследим закат абсолютизма евклидовой геометрии, стоит слегка освежить в памяти то, что известно о ее бессмертном авторе. Евклид так сросся со своей работой, что почти ничего не известно о нем как о личности. Даты его жизни неконкретны, где-то 330–275 годы до н. э. приводятся чаще, видимо достаточно точно. Предполагают, что образование он получил в Афинах, возможно в Академии. Попытки повторить расчеты математической истины Платона, оказавшие влияние на композицию «Элементов» Евклида, полностью опирались на необоснованные гипотезы. «Элементы» были закончены в Александрии, где Евклид прожил большую часть своей жизни в качестве члена научного сообщества, образовавшегося вокруг великой библиотеки.

В книге осуществлена компиляция и систематизация элементарных геометрических и арифметических знаний того времени. Персональный вклад Евклида состоит в классификации и систематизации всех разрозненных материалов в логической последовательности, где все, по задумке автора, должно быть выведено из досконально описанных постулатов по принятым правилам дедуктивного умозаключения. Мерой его успеха в этом амбициозном проекте является неподдельный исторический интерес. В плане геометрии – ничего существенного.

Если оценка кажется слишком жесткой, то любой беспристрастный критик в состоянии убедить себя менее чем за час (что часто и делалось, когда европейские геометры начали выздоравливать от некритического подхода к греческой математической классике), что несколько описательных определений Евклида неверны, что он часто опирался на неявные допущения в дополнение к постулатам, которыми он ограничивался, что некоторые из его предположений, как он их называет, ложны, а то, что он выдавал за доказательства других, бессмысленно.

Попытка доказательства самого первого предположения «На данной конечной прямой линии можно создать равносторонний треугольник» не подлежит даже исправлению. Его портит жуткая ошибка, которую любой наблюдательный школьник, пошевелив мозгами, моментально определит. Невозможно исправить попытку Евклида, используя только допущения, которые он сам себе позволял. Доказательство второго предположения зависит от доказательства первого, поэтому оно также ложно. Его третье упирается во второе. И так далее, вплоть до седьмого, полностью лишенного смысла. Если бы это кого-нибудь тревожило, то внутреннюю логическую структуру в части геометрии в «Элементах» следовало бы проанализировать от начала до конца в целях выявления неопределенных допущений и несовершенных доказательств. Однако тринадцать книг «Элементов» Евклида в течение почти двух тысяч лет оставались объектом слепого поклонения как олицетворение логического совершенства. И хотя наши попытки разобраться в правильности умозаключений может постичь та же участь, что и Евклида, его пример научил отдельных математиков быть внимательными в своих претензиях на вечные истины в части собственного вклада. Интересная догадка в отношении побудительного мотива Евклида на создание своего труда снова возвращает нас к пифагорейцам и Платону. Первое предположение имело целью создать простой правильный многоугольник (равносторонний треугольник). Заключительные шесть предположений книги XIII, венец проделанной работы, дают геометрическое построение пяти тел геометрически правильной формы. Таким образом, геометрическую часть «Элементов» следует рассматривать как математические границы пифагорейского космоса, придуманного Платоном. Тайная цель Евклида состояла в том, чтобы защититься этими границами от враждебных рациональных сомнений.

В эволюции геометрической истины существуют четыре критические даты: 1701, 1733, 1781 и 1826 годы. Связанные с ними имена соответственно: Джордж Беркли (1685–1753), Джироламо Саккери (1667–1733), Иммануил Кант (1724–1804) и Николай Лобачевский (1793–1856). Беркли был ирландским метафизиком, теологом и, наконец, епископом. Саккери – итальянским логиком-иезуитом и математиком. Кант – немецкий философ шотландского происхождения, не был математиком. Лобачевский – русский математик, никогда не был философом. За исключением Канта, каждый из этих людей внес значительный вклад в деплатонизацию математики в целом и геометрии в частности.

Беркли, кажется, оказался первым метафизиком в памяти истории (с сомнительным исключением некоторых средневековых номиналистов), который заподозрил, что нет ничего абсолютного в «истинах» геометрии.