Алексей Лобанов - Энциклопедия финансового риск-менеджмента

Пример 1.72.Инвестор считает, что цена бездивидендной акции описывается геометрическим броуновским движением с коэффициентом смещения 0,1 и годовой волатильностью 40 %. В данный момент времени цена акции равна 100 долл. Инвестора интересует цена этой акции через месяц.

Эволюцию цены В τоблигации с нулевым купоном можно описывать с помощью геометрического броуновского движения, лишь когда до погашения облигации остается достаточно много времени. Действительно, в момент погашения Т ее цена всегда равна номиналу, т. е. известна достоверно. Это означает, что и зависимость от времени должна иметь вид, изображенный на рис. 1.31.

Таким образом, при моделировании эволюции цены облигации с нулевым купоном необходимо учитывать эффект приближения к номиналу (pull to par), а геометрическое броуновское движение этот эффект не учитывает, так как растет во времени линейно.

В общем случае найти решение стохастического дифференциального уравнения (1.71) в явном виде не удается. Поэтому для моделирования траекторий случайного процесса Ито часто применяется метод Монте-Карло.

Чтобы смоделировать траекторию случайного процесса Ито на отрезке [t, Т], этот отрезок разбивается на n равных частей (n должно быть большим), а затем разыгрывается случайная величина ξ, распределенная нормально с параметрами Тогда для последовательности случайных чисел δ 1, δ 2…., δ nбудет построена соответствующая последовательность значений случайной величины ξ, а траектория случайного процесса Ито будет определяться точками:

Указанным выше способом можно построить сколь угодно много траекторий случайного процесса Ито.

Дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин: η 1, η 2…., η n…. с функцией распределения F( x ).

Можно рассмотреть новую последовательность случайных величин {M n}, где M n= max {η 1, η 2…., η n….}, n = 1, 2, 3…..

Функция распределения случайной величины M nопределяется следующим образом:

Дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин η 1, η 2…., η n…..

Если случайные величины η 1, η 2, …, η nнезависимы и одинаково распределены, а n достаточно велико, то функция распределения случайной величины M n = max{η 1, η 2, …, η n} практически совпадает с функцией обобщенного распределения экстремальных значений (при подходящем выборе параметров ξ, μ и σ).

Предположим, что случайная величина M n= max{η 1, η 2, …, η n} имеет распределение Фреше, т. е.

Тогда справедливы следующие утверждения: