Валентин Арьков - Организация параллельных потоков. Часть 1

«Икс» меняется от —20 до +20, значит основание фигуры равно 40.

Высота — это среднее значение функции на интервале. Рассмотрим график нашей функции на рис. 6.2. Значения меняются от 100 до 300, а в конце диапазона возрастают до 500. Так что можно приближённо оценить среднее значение f (x) = 200.

Умножаем основание на высоту и получаем грубую оценку площади:

S = 40 * 200 = 8000

Это очень приближённая оценка. Можно сказать, что это только ПОРЯДОК величины. Слово «порядок» в данном случае означает «степень десятки». В какую степень нужно возвести число 10, чтобы получить наше значение. То есть речь идёт о числах порядка десяти тысяч. Не о тысяче и не о ста тысячах. Это будет число «около десяти тысяч».

Грубые, предварительные, приблизительные оценки нужны для того, чтобы выявлять ещё более грубые ошибки. Например, если перепутали в расчётах плюс с минусом. Или не в ту степень число возвели.

Задание. Оцените среднее значение подынтегральной функции по графику f (x).

Задание. Сделайте грубую, предварительную оценку значения своего интеграла.

Вначале определим точное теоретическое значение интеграла. Для этого найдем решение аналитически (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Аналитическое решение

Здесь нам потребуется найти первообразную F (x) для подынтегрального выражения f (x). Это функция F (x), производная которой даёт нам f (x), см. рис. 6.5.

Рис. 6.5. Нахождение первообразной

Далее находим разность значений первообразной на границах B и A:

S = F (20) — F (-20) = 9066,67

Расчёты можно сделать в пакете Excel (рис. 6.6).

Полученное значение очень близко к нашей грубой оценке 8000. Оба числа близки к 10000. Это и есть ПОРЯДОК величины. Разница не в десять раз. И даже не в два раза, а гораздо меньше. Похоже, что грубых оценок в наших аналитических выкладках не было.

Рис. 6.6. Аналитическое решение

Далее наши приближённые численные решения будем сравнивать с этим теоретическим значением.

Задание. Определите значение своего интеграла аналитически и сравните его с предварительной грубой оценкой.

Численные методы используют приближённую замену сложной функции более простыми. В методе прямоугольников мы заменяем подынтегральную функцию на несколько смежных прямоугольников.

Диапазон значений аргумента (пределы интегрирования) мы разбиваем на некоторое количество отрезков одинаковой длины. Высота каждого прямоугольника равна значению подынтегральной функции в середине отрезка (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Метод прямоугольников

Значение определённого интеграла равно площади под графиком функции. Эту площадь мы приближённо оцениваем как сумму площадей прямоугольников.

Основания всех прямоугольников основания равны. Поэтому мы можем вначале сложить все значения функции, а затем умножить эту сумму на длину отрезка.

Для данного эксперимента мы используем вещественный тип float.

Задание. Составьте последовательную программу численного интегрирования, указав 100 отрезков. Используйте тип float. Сравните полученный результат с теоретическим.

Задание. Подберите количество отрезков так, чтобы время выполнения программы составило от 10 до 20 секунд.

Численные методы всегда дают приближённый результат. Вопрос только в том, какой уровень погрешности позволит работать с полученными результатами и решать практическую задачу — определить площадь, объём, нагрузку, деформацию изделия и тому подобное.

В нашем примере погрешность зависит, прежде всего, от количества прямоугольников. Нам предстоит исследовать эту зависимость и построить графики.

Задание. Запустите программу численного интегрирования с разным количеством прямоугольников. Организуйте ввод количества прямоугольников через параметры командной строки. При вычислениях используйте тип float. Используйте пакетный файл и сделайте по 10 запусков программы для каждого количества прямоугольников. Зафиксируйте в отчёте среднее время вычислений и уровень погрешности в процентах от теоретического значения.

Второй фактор, влияющий на уровень погрешности, — это тип переменной. В стандартном языке Си есть два типа переменных с плавающей точкой: floatи double. Их ещё называют вещественными числами — в отличие от целых. Они обеспечивают разное количество значащих десятичных разрядов.