Joaquin Sandalinas - До предела чисел. Эйлер. Математический анализ.

О том, почему Эйлер выбрал именно букву е, высказывалось множество версий. Несмотря на самые распространенные из них, здесь нет связи со словом "экспонента" на немецком языке или с первой буквой его собственного имени. Есть предположение, что изначально ученый хотел обозначить постоянную через а, но она уже была занята другой величиной в его вычислениях. В любом случае, Эйлер так и не объяснил причины своего выбора.

Большая часть сведений о е содержится в его шедевре "Введение в анализ бесконечных", написанном в Берлине и изданном в 1748 году. В нем Эйлер окончательно установил, что логарифм и возведение в степень являются обратными друг другу операциями, то есть

у - а xтогда и только тогда, когда x-log ay.

Эта формула истинна для любого основания а, в том числе для а = е. Есть еще один аспект, который относится к области анализа и возведению в степень с основанием е, — функция ƒ(x) = еx совпадает со своей производной:

de х/dx = e x.

Постоянная е — трансцендентное число, то есть его нельзя получить, решая алгебраическое уравнение с рациональными коэффициентами. Для доказательства трансцендентности какого-либо числа в первую очередь надо проверить его на иррациональность (число называется иррациональным, когда его нельзя выразить в виде соотношения двух целых чисел). Это совсем не простая задача, и Эйлеру это не удалось. Тем не менее он подошел довольно близко к правильному решению, найдя следующую непрерывную дробь:

Получив доказательство того, что эта дробь бесконечна, он показал:

(е-1)/2

является иррациональным числом. Наконец, в 1873 году Шарль Эрмит (1822-1901) доказал трансцендентность числа е.

Помимо полученного Эйлером, часто встречаются и такие записи числа е в виде дроби:

В последнее время в области теории чисел наблюдается возрастание интереса к вопросу о нормальности постоянных. Является ли е нормальным числом? В этом случае "нормальность" означает, что цифры в записи числа е сохраняют статистическое равновесие: если взять произвольное число, или пару чисел, или тройку и так далее, то вероятность того, что они появятся в записи числа е, всегда одна и та же.

То есть существуют нормальные и анормальные постоянные, но е кажется нормальным числом. Так или иначе, это всего лишь гипотеза, которую до сих пор никому не удалось доказать.

Арки колледжа святой Терезы (вверху) архитектора Антонио Гауди в Барселоне и Арка в Сент- Луисе (в середине) — примеры перевернутой традиционной цепной линии, образованной подвесными тросами (внизу). Формула этой линии содержит число е.

Существует математический вид спорта, который состоит в том, чтобы произнести наибольшее количество знаков после нуля какой-либо константы. Поскольку заучивать их, просто напрягая память, может быть скучно, для этого используются специальные фразы или стихи (mnemonics по-английски). Количество букв в каждом слове соответствует числовой последовательности, которую надо запомнить.

Например, название стихотворения "С десятью пушками по стороне" испанского поэта Хосе де Эспронседа можно соотнести с последовательностью 17727.

Это гораздо проще запомнить, чем само число, поскольку у слов есть смысл. Стало очень модно заучивать цифры числа к. Фразы для запоминания знаков числа е встречаются реже, но они тоже очень любопытны. В интернете можно найти такой вариант:

We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!

[ 1Мы представляем мнемоническое упражнение на запоминание такой восхитительной постоянной, что Эйлер воскликнул: '!', когда впервые открыл ее, да. громко воскликнул '!'. Мои студенты, возможно, вычислят е. используют свои силы или ряды Тэйлора, простую формулу сложения, ясную, четкую, элегантную! (В данном случае подсчет действителен только для фразы на английском. — Примеч. ред.)]