Gustavo Pineiro - Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.

Если да, то, как и все члены, оно обладало бы свойством, определяющим множество, но F не должно быть членом самого себя. Мы приходим к противоречию, так как исходим из одного предположения, а получаем противоположный вывод. Таким образом, эта предпосылка не может быть верной. Тогда F не является членом самого себя.

Но в этом случае оно не соответствует свойству, определяющему F, так как должно быть членом самого себя. Мы сталкиваемся с еще одним противоречием (см. рисунок).

Резюмируем: F не может быть членом самого себя, но не может и не быть им. Это невозможно с точки зрения логики. Множество F yсуществование которого гарантирует принцип выделения, не может существовать, потому что это порождает логическое противоречие. Принцип выделения, казавшийся таким невинным, ведет к парадоксу. Сегодня парадокс множеств, которые не являются членами самих себя, известен как парадокс Рассела.

Парадоксы Бурали-Форти и Кантора, конечно, вызвали обеспокоенность в научном сообществе, но это не было неподконтрольным волнением.

Действительно, проблема парадоксов требовала решения, но оба они относились к таким объектам, как множество всех ординальных чисел и универсальное множество, которые никогда не фигурировали в какой-либо другой области математики, использующей понятия теории множеств. С другой стороны, помимо предложенного Кантором решения, многие другие ученые полагали, что чтобы устранить парадоксы, достаточно внести в теорию множеств технические поправки, например в определение. В общем, хотя все и признавали наличие проблемы, казалось, что она касается очень ограниченной области теории множеств и, разумеется, имеет решение.

Схема парадокса Рассела. Стрелки указывают порядок логических выводов.

Парадокс Рассела, напротив, вызвал гораздо более глубокий кризис, так как аксиому, утверждающую, что каждому свойству соответствует множество, использовали на протяжении нескольких лет все ученые, применявшие понятия теории множеств. Доказав, что эта аксиома противоречива, Рассел не только обрушил всю систему Фреге, но и заставил усомниться во всех достижениях, основанных на теории множеств. В частности, была поставлена под вопрос верность исчисления. Более того, принцип выделения в действительности кажется очевидным, а если такое невинное на первый взгляд утверждение оказывается настолько противоречивым, какие опасности таятся в других аксиомах или предположениях, которые так или иначе математики доверчиво использовали в своих утверждениях?

Фридрих Людвиг Готлоб Фреге родился в Висмаре (Германия) 8 ноября 1848 года. В 1869 году он поступил на математический факультет Йенского университета, также в Германии, но в 1871 году перевелся в Геттинген, где кроме математики изучал физику, химию и философию. В 1872 году удостоился докторской степени, предложив новый логически точный геометрический язык. В 1902 году Фреге получил письмо от Рассела, в котором говорилось о парадоксе множеств, не являющихся членами самих себя, и впал в глубокое уныние. Он попытался перестроить всю систему и для этого изменил аксиому, порождавшую парадокс, но тогда она породила еще несколько — Фреге понадобился не один год, чтобы заметить их. Большая часть его работ по логике и философии на момент его смерти были еще не опубликованы. Фреге завещал их своему приемному сыну Альфреду с такими словами:

«Не пренебрегай моими рукописями. Если не все в них золото, то золото там все же есть. Думаю, придет время, и многое в них будет оценено гораздо выше, чем теперь. Смотри, чтобы ничто из них не потерялось. В них я оставляю тебе значительную часть самого себя».

Фреге умер в Бад-Клайнене (Германия) 26 июля 1925 года.

Что на этом пути нам, продвигающимся все дальше, не удается достичь никакой непереходимой границы, получить хотя бы только приближенное постижение абсолютного — это не подлежит для меня никакому сомнению.

Георг Кантор, 1883 год

Кризис, вызванный парадоксом Рассела, вышел за границы теории множеств: ученые поставили под вопрос все свои рассуждения и даже стали спрашивать себя, что же на самом деле изучает математика. Этот глубокий кризис известен сегодня под названием «кризиса оснований». Он вызвал множество споров, иногда очень горячих, продлившихся почти 30 лет.