Gustavo Pineiro - Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.

Дедекинд, который тоже работал в то время с понятиями теории множеств, казалось, не замечал никаких парадоксов, и сам Кантор после депрессии, поразившей его в 1884 году, полностью оставил эту тему на продолжительное время. Вопрос парадоксов теории множеств канул в Лету и был «открыт вновь» в 1897 году.

Схема парадокса Кантора, по которому существует множество, большее, чем то, которое уже содержит в себе все.

С 9 по 11 августа 1897 года в Цюрихе (Швейцария) проходил Первый международный конгресс математиков, в котором приняли участие более 200 ученых из 16 стран мира, в том числе Гильберт и Кантор. На этом конгрессе теория множеств получила международное признание, а многие выступления были посвящены применению понятий теории множеств — в основном в области исчисления.

Кто из нас не обрадовался бы, если бы ему удалось поднять пелену, скрывающую будущее, увидеть будущий прогресс нашей науки и тайны ее развития в последующие века?!

Давид Гильберт на Втором международном конгрессе математиков

В беседах, которые участники вели между заседаниями, постоянно проявлялся волнующий всех вопрос... об открытии парадокса в теории множеств. В марте 1897 года в бюллетене Палермитанского математического кружка итальянский логик и математик Чезаре Бурали-Форти (1861-1931) опубликовал статью под названием «Вопрос о трансфинитных числах», в которой вновь открывал парадокс об ординальных числах. В 1883 году Кантор не дал точной формулировки парадокса, и он стал известен только после знаменитой работы Бурали- Форти, посему и получил его имя. Интересно, что итальянский ученый тоже присутствовал на конгрессе и выступил с докладом, правда по геометрии.

Гильберт, большой сторонник теории множеств, был крайне обеспокоен выявлением парадокса и в 1897 году начал интенсивную переписку с Кантором. В ходе этого обсуждения Кантор вновь выразил свою убежденность в том, что всех парадоксов в теории множеств можно было избежать, проведя различие между трансфинитным и абсолютным, хотя в письмах он не использовал эти термины, а говорил о «доступном» и «недоступном» (а иногда о «существенных» и «несущественных» множествах).

По Кантору, доступные множества — это такие множества, которые мы можем назвать и свойства которых мы можем изучить; недоступные же находятся вне нашего понимания, поэтому если мы будем пытаться анализировать их, то рискуем столкнуться с противоречиями. Проблема была не во множествах самих по себе, а в конечном и ограниченном рассудке, неспособном понять определенный тип множеств. Гильберта не убеждала такая постановка вопроса, он полагал, что если мы в состоянии постичь определение множества, то должны быть в состоянии и познать все его свойства. Мысль о том, что существуют непознаваемые математические объекты, была противна философии математики Гильберта, которую можно охарактеризовать его знаменитой максимой «Мы должны знать. Мы будем знать», произнесенной на конференции в честь открытия Второго международного конгресса математиков в 1900 году. Она выражает его твердую уверенность в том, что неразрешимых математических задач не существует. Интереснейший спор в письмах между Гильбертом и Кантором трагически прервался в 1899 году, так и не завершившись решением, которое устроило бы обе стороны.

Бурали-Форти родился в Ареццо, в Италии, 13 августа 1861 года. Он изучал математику в Пизанском университете, где в 1884 году защитил диплом.

Докторскую степень ему получить не удалось, поскольку диссертационный комитет отверг его предложение рассматривать геометрию с алгебраической точки зрения (сегодня общепринятой), а ученый не стал настаивать на своем. До 1887 года он был учителем математики в пизанской школе, а потом переехал в Турин, где преподавал в военной академии до конца своей карьеры. Отсутствие докторской степени не позволило ему работать в высших школах, однако в Туринском университете он прочитал несколько лекций, получивших высокую оценку. Там же он установил контакты, хотя и неформальные, со многими учеными. Бурали-Форти написал более 200 статей по геометрии, логике и о преподавании математики. Он умер в Турине 21 января 1831 года.

В конце 1899 года Кантор готовил третью часть своей статьи «Обоснование учения о трансфинитных множествах», которую хотел посвятить главным образом изложению своего решения парадоксов теории множеств, но 16 декабря 1899 года его работу прервала трагическая гибель младшего сына Рудольфа. Ему было всего 13 лет.