Gustavo Pineiro - Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.

Объединение двух множеств содержит одновременно элементы и того и другого.

Выходит, что теория множеств родилась в 1883 году? Почему же тогда задолго до этого, в 1872 году, Кантор и Дедекинд уже сошлись на том, что в математику необходимо ввести понятия множеств?

В 1872 году Кантор опубликовал статью, в которой было предложено решение проблемы континуума. Решение состояло в том, чтобы найти такое определение вещественных чисел, которое не опиралось бы на геометрические понятия. Важно отметить, что уже тогда Кантор знал: эта задача приведет его к актуально бесконечным множествам.

В том же году Дедекинд опубликовал решение вопроса континуума, близкое к предложенному Кантором и основанное на так называемых дедекиндовых сечениях. Теперь понятно, почему в 1872 году двое ученых сочли, что их взгляды на математику настолько схожи.

Математик Бернард Больцано родился в Праге в 1781 году. В сочинении «Парадоксы бесконечного», опубликованном в 1851-м, спустя три года после его смерти, он предвосхитил некоторые идеи Кантора, обнародованные гораздо позже, пусть даже он не упомянул о существовании нескольких уровней бесконечности и не создал полноценную теорию математической бесконечности.

Тем не менее до середины 1880-х годов и Кантор, и Дедекинд допускали только существование групп, образованных числами или геометрическими точками, а не любыми объектами. Таким образом, отвечая на поставленный вопрос, мы можем сказать, что хотя в 1870-е годы Кантор и Дедекинд уже использовали связанный со множествами понятийный аппарат в своих работах, эти термины еще не были развиты до конца, так как применялись только к группам, состоящим из чисел или геометрических точек. Возможность того, что множество может состоять из любых объектов, Кантор принял во внимание только в 1883 году, но и то ограничился множествами, образованными числами, хоть и особого вида.

Необходимо подчеркнуть, что концептуальный переход к принятию идеи того, что множества могут быть образованы любыми объектами, уже был заложен в определении мощности, которое Кантор обнародовал в 1877 году. Утверждая, что мощность — это свойство группы, коллекции, которое возникает при абстрагировании от природы составляющих его членов, он подчеркивает: не важно, какими членами оно образовано.

Если мы возьмем любую группу и заменим, например, числа или точки буквами, идеями или любыми другими объектами, то ее мощность останется такой же, поскольку понятие мощности не зависит от природы членов коллекции.

Статья 1883 года «Основы общего учения о многообразиях» стала кульминацией научной карьеры Кантора. К сожалению, этот период его жизни был также отмечен серьезными личными проблемами.

Эдуард Гейне, руководивший первыми исследованиями Кантора в Галле, умер 21 октября 1881 году. Тогда ученый задался амбициозной целью. Раз ему не удавалось перейти в престижный университет вроде Берлинского или Геттингенского, он решил привести в Галле знаменитых ученых, которым было близко его учение о бесконечности, и создать исследовательский центр. В качестве первого шага он убедил дирекцию университета предложить одно освободившееся место Дедекинду.

К большому удивлению и разочарованию Кантора, тот отклонил это предложение, и место было отдано Альберту Вангерину — второстепенному геометру, далекому от идей Кантора.

Причины, побудившие Дедекинда отказаться, нам точно не известны. К тому времени он уже 20 лет жил в родном Брауншвейге, где возглавлял коллегиум, в котором когда-то учился сам, и занимался исследовательской работой в своем темпе, без давления со стороны. Поэтому, возможно, причиной было банальное нежелание менять стиль жизни.

Я представляю себе множество как пропасть.

Георг Кантор — немецкому математику Феликсу Бернштейну, 1899 год

В любом случае Кантора этот отказ очень обидел, и дружба стала быстро угасать, а в конце 1882 года десятилетняя переписка и все прочие контакты были полностью прерваны.

Практически в тот же самый период, когда завершились отношения Кантора с Дедекиндом, он завязал переписку со шведским ученым Іестой Миттаг-Леффлером (1846— 1927) — известным математиком, который, как и Дедекинд, интересовался областью бесконечного. Тогда же, в 1882 году, Миттаг-Леффлер основал журнал Acta Mathematica. И Кантор обрел подходящую платформу для публикации своих работ, не попадая в зону влияния Кронекера. С 1883 по 1885 год в Acta Mathematica были опубликованы три статьи, в которых Кантор рассматривал вопросы, связанные с решением задачи контиуума.