Enrique Rodriguez - Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр.

В рамках евклидовой геометрии мы оперируем элементами, которые непосредственно принадлежат этому виду геометрии, — точками, прямыми, плоскостями, углами и так далее, а также преобразованиями, которые можно применить к этим элементам. Мы можем переносить их из одного места в другое, вращать их, удлинять, укорачивать или придавать им определенную симметрию. Некоторые преобразования обратимы, то есть если в ходе преобразования из точки А мы переходим в точку В, то существует и другое преобразование, которое приводит нас из точки В в точку А. Также, применяя два преобразования подряд, мы можем получить еще одно преобразование. Если имеется совокупность преобразований, отвечающих этому критерию (и еще нескольким, но в данном случае это не важно), то она называется группой преобразований. Некоторые объекты, с которыми мы имеем дело в геометрии, могут быть в большей или меньшей степени подвергнуты таким преобразованиям.

Предположим, что мы должны перенести окружность. Ее центром является определенная фиксированная точка, но при переносе она меняется. Если же мы оставим центр на месте и уменьшим длину окружности, изменится ее радиус. Но при всех этих преобразованиях одно свойство остается неизменным — соотношение между длиной окружности и ее диаметром. Феликс Клейн заметил, что изучение таких инвариантных свойств было определяющей характеристикой конкретного типа геометрии, в рамках которой можно сравнивать фигуры с одинаковыми свойствами. Тогда он предложил более общее и более абстрактное определение геометрии: она определялась парой (X; G), гдеХ — множество объектов, a G — множество преобразований, применяемых к ним. Все известные геометрии — евклидова, проективная, гиперболическая и так далее — попадали под эту классификацию. Она также открывала путь новым геометрическим системам, поскольку множество объектов X могло состоять из абсолютно любых типов элементов. Клейн изложил свои идеи в докладе «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований», представленном в 1872 году на математической кафедре Эрлангенского университета. Позднее доклад стал известен в математических кругах как Эрлангенская программа Феликса Клейна.

Открытка 1916 года, на которой изображена улица на территории Эрлангенского университета.

Если речь идет об относительно небольших расстояниях, евклидова и неевклидова геометрии практически эквивалентны. Однако если рассматривать расстояния в астрономии или в некоторых системах современной физики (теории относительности или теории распространения волн), неевклидовы геометрии оказываются более точным инструментом.

В свете этого ученые заключили, что гиперболическая геометрия — один из видов неевклидовой — не менее обоснована, чем евклидова; другими словами, если в гиперболической геометрии и есть противоречия, то они есть и в геометрии Евклида. Последующее развитие теоретической физики показало, что евклидова геометрия необязательно наиболее соответствует «реальности».

Появление неевклидовых систем стало важным этапом не только в развитии самой геометрии. Речь шла о том, чтобы зайти за священную ограду непреложных истин, содержащихся в аксиомах, и сделать предметом изучения само внутреннее обоснование этих аксиом. Геометрия стала детонатором глубокого кризиса, который в итоге поразил один из столпов всей математической науки — теорию множеств.

Теория множеств имеет большое значение для математики: являясь, в сущности, очень простой, она позволяет дать определения таким понятиям, как упорядоченная пара, соотношение, функция, разбиение множества, порядок, натуральные числа, рациональные, вещественные, комплексные числа, структура группы, кольцо, тело, векторное пространство и так далее,— список можно продолжать очень долго. Само же понятие множества — одно из основных в математике. Сложно найти хотя бы одну ее область, которая не была бы основана на нем, явно или не очень явно. Можно даже утверждать, что все математическое здание стоит на краеугольном камне теории множеств, которой пользуются математики, логики и, в меньшей степени, те, кто имеет дело с программированием.

Первая сложность в этой теории — само определение множества, но если ее преодолеть, все остальное работает прекрасно. Сформулировать же это определение, не используя само слово «множество» или его синонимы (совокупность, общность, последовательность и другие), очень трудно. Одна из лучших формулировок, в которой нет никаких синонимов (по крайней мере на первый взгляд), была предложена британским ученым Бертраном Расселом (1872-1970):