Михаил Терентьев - История эфира

А теперь самое интересное — вывод уравнения (D’). Ответ известен заранее, поэтому Максвелл подбирает параметры своей среды так, чтобы он получался из простых кинематических соотношений (фактически речь идет только о выборе подходящих единиц измерения для плотности промежуточных частиц). Результат следует как решение задачи: «Определить общее количество промежуточных частиц (p), проходящих через единицу площади в направлении x в единицу времени». Максвелл получает:

что совпадает с x-компонентой уравнения (D’). Другие компоненты выводятся аналогично.

Итак, снова закон Ампера для замкнутых токов? Это так, если j = (p, q, r) — действительно ток проводимости. И здесь механическая модель позволяет Максвеллу привести аргументы, позволяющие рассматривать случаи незамкнутых токов!

Рассмотрим диэлектрик. По предположению, ему соответствует среда, где промежуточные частицы не могут свободно перемещаться от одной ячейки к другой из-за какого-то внешнего, большого сопротивления. Предположим (вместе с Максвеллом), что внутри одной ячейки (Максвелл иногда употребляет термин «молекула» для обозначения части пространства, которая пересекается одной вихревой трубкой) под влиянием индукции возможно небольшое смещение электричества «... так, что одна сторона молекулы становится наэлектризованной положительно, а другая отрицательно, но электричество остается связанным с молекулой и не переходит от одной молекулы к другой... Это смещение не представляет собой настоящего тока, потому что, достигнув определенной величины, оно остается постоянным. Но это начало тока и изменение смещения образует ток в положительном или отрицательном направлении в зависимости от того увеличивается смещение или уменьшается».

Итак, по Максвеллу, изменение скорости вихря локально связано с током (согласно уравнению (D’), но глобально в диэлектрике это не истинный ток, а ток смещения p = ∂h/∂t, где h — смещение промежуточных частиц. Величину такого смещения можно вычислить независимо, так как она определяется упругой постоянной среды и значением тангенциальной силы, действующей из-за разности скоростей вращения вихрей на среду промежуточных частиц. Вспоминая наш словарик терминов, запишем:

h = D x, D = (D x,D y,D z) = εE.

В том случае, если среда не идеальный диэлектрик, то помимо токов смещения существуют и обычные токи проводимости (с этого момента j всегда обозначает именно ток проводимости). Поэтому в левой части уравнения (D’) должен стоять полный ток j + ∂D/∂t, и Максвелл выписывает уравнение в окончательной форме:

Отсюда, уже в две строчки, после чисто математических преобразований, Максвелл выводит уравнение:

где ρ — по определению та самая величина, которая входит в правую часть уравнения (А). Смысл этого уравнения одинаков и в гидродинамике, и в электродинамике: изменение числа частиц в единичном объеме определяется током, проходящим через поверхность, ограничивающую объем.

В работе имеется сложное построение, позволяющее вычислить деформацию тела вихревых трубок и соответствующее смещение промежуточных частиц, находящихся с ними в контакте, вызванное внешней, заданной тангенциальной силой. Построение следует рассматривать как иллюстрацию того, что в рамках механической модели при определенных предположениях (которые, как отмечалось выше, не вполне совпадают с использованными в других частях работы) член ∂D/∂t в уравнении (D) действительно можно вывести.

В 1861 году никаких экспериментальных оснований для введения тока смещения не было. Почему же Максвелл говорит о больших трудностях, с которыми он столкнулся при попытке обобщения закона Ампера на случай незамкнутых токов? Очевидно, речь идет о математических трудностях, и одна из них видна сразу — невозможность согласовать уравнение непрерывности в форме (Е) с другими уравнениями теории. То, что Максвелл вывел уравнение (E), исходя из уравнения (D), не должно вводить в заблуждение. Нет сомнений, что формулу уравнения непрерывности Максвелл знал заранее.

Мы уже сталкивались с тем, что последовательность утверждений в статьях Максвелла (как, впрочем, у любого физика-теоретика) может не повторять последовательность, в которой они были найдены. Построение непротиворечивых уравнений — сложный процесс проб и ошибок. На каждом промежуточном этапе результат проверяется со всех сторон, рассматриваются всевозможные следствия и т. п. Бывает и так, что с течением времени сам автор может терять представление о том, какие утверждения были первичными в логической цепи.