Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

У египтян, однако, не было символа для неизвестной величины; не было его и у Пифагора с Евклидом. Для них математика была по природе геометрической, связанной с тем, что можно построить. А неизвестная величина требовала следующего уровня абстракции. Диофант, живший в Александрии в III веке, первым из греческих математиков стал использовать символ для неизвестной величины. Для этой цели он выбрал греческую букву сигма — ς. Для обозначения квадрата неизвестного числа он писал Δ γ, а для куба — K γ. Хотя его обозначения и были крупным достижением для того времени, поскольку позволяли сформулировать задачу более четко, они все же оставались довольно путаными, потому что — в отличие от системы, использующей x, х 2 и х 3, — не было очевидной визуальной связи между величиной ς и ее степенями Δ γи K γ. Впрочем, несмотря на недостатки своих обозначений, Диофант вошел в историю математики как отец алгебры.

«Алгебра» — общий термин для математики уравнений, когда числа и операции записываются в виде символов. Само слово «алгебра» имеет занятную историю. В средневековой Испании над дверьми парикмахерских красовались вывески «Algebrista у Sangrador», то есть «Костоправ и Кровопускатель» — два вида деятельности, которые составляли неотъемлемую часть услуг цирюльника. По этой же причине шест, указывавший на характер заведения, выкрашен в красные и белые полосы — красный символизирует кровь, а белый — повязки.

Корень в слове «algebrista» взят из арабского «al-jabr» [32] Не будем забывать, что значительная часть Испании в течение столетий находилась под арабским владычеством. ( Примеч. перев. ) , что, помимо указания на примитивные хирургические приемы, означало также восстановление или воссоединение. Абу Джафар Мухаммад ибн Муса Аль-Хорезми, багдадский математик, живший в IX веке, написал вводный математический курс, озаглавленный «Книга восстановления и редукции» (буквально «сокращение и сравнение» — «Хисаб аль-джабр у аль-мукабаля»). В своем труде он объяснил два метода решения арифметических задач. Аль-Хорезми писал весьма цветисто, витиевато, по-восточному, но мы для лучшего понимания будем использовать современные обозначения и терминологию.

Рассмотрим уравнение А = В - С .

Аль-Хорезми описывает «al-jabr», или восстановление, как процесс, посредством которого данное уравнение принимает вид А + С = В. Другими словами, отрицательный член можно превратить в положительный, если перенести его на другую сторону от знака равенства.

Рассмотрим теперь уравнение А = В + С . Редукция — процесс, который превращает это уравнение в А - С = В.

Благодаря современным обозначениям мы ясно видим, что и восстановление, и редукция — примеры общего правила, согласно которому все, что вы делаете с одной частью уравнения, надо делать и с другой его частью. В первом уравнении мы прибавили С к обеим частям. Во втором уравнении мы вычли С из обеих частей. Поскольку по определению выражения по обе стороны от знака равенства равны друг другу, они должны оставаться равными и когда какое-то слагаемое одновременно прибавляется или вычитается с обеих сторон. Если мы умножим одну из частей уравнения на некоторое число, то и другую часть должны будем умножить на то же самое число, и все это применимо также к делению и другим операциям.

Аль-Хорезми был не первым, кто использовал восстановление и редукцию — эти операции можно найти еще у Диофанта. Когда книгу Аль-Хорезми перевели на латынь, фигурирующий в заглавии «aljabr» превратился в «алгебру». Книга Аль-Хорезми по алгебре, наряду с еще одной его книгой, посвященной индийской десятичной системе счисления, распространилась в Европе столь широко, что само имя его обессмертилось в качестве научного термина: аль-Хорезми стал Алхоарисми, Алгорисми и в конце концов алгоритмом.

С XV по XVII век математические предложения двигались по дороге от словесных выражений к символьным. Мало-помалу слова заменялись буквами. Диофант, может, и заложил основы буквенных обозначений, введя символ для неизвестной величины, но первым, кто широко популяризировал этот метод, был француз Франсуа Виет, живший в XVI столетии. Виет предложил использовать заглавные гласные буквы А, E, I , О, U и Y для неизвестных величин, а согласные В, С, D и т. д. — для известных.

Через несколько десятилетий после смерти Виета Рене Декарт опубликовал свое «Рассуждение о методе». В этом труде он применил математическую логику к человеческому мышлению. Для начала он подверг сомнению все свои убеждения, а после того, как все было отброшено, у него осталась лишь уверенность в том, что он существует. Тот аргумент, что нельзя подвергать сомнению собственное существование, коль скоро мыслительный процесс требует существования того, кто мыслит, нашел краткое выражение в знаменитой фразе из «Рассуждения» — «Я мыслю — следовательно, я существую». Это, наверное, наиболее известная в мире цитата, а сама книга считается краеугольным камнем западной философии. Декарт, однако, замысливал свой труд как введение к трем приложениям, составленным из других его научных работ. Одно из них — «La Geometrie» — в равной мере стало вехой в истории математики.