Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

В редких случаях, однако, лотереи могут оказаться наилучшим способом получить хороший выигрыш. Такое происходит, когда из-за «переходящего» джекпота заявленный выигрыш становится больше, чем цена покупки всех возможных комбинаций чисел. В таких случаях вы можете быть уверены, что получите выигрышную комбинацию. Риск состоит только в том, что могут найтись люди, у которых уже есть выигрышная комбинация, — и тогда вам придется разделить главный выигрыш с ними. Впрочем, подход «купи-все-комбинации» подразумевает способность сделать именно это , что может оказаться делом нелегким как с теоретической, так и с логистической точки зрения.

Игроки в «Мега-Миллионс» должны выбрать пять чисел от 1 до 56 и одно от 1 до 46. Имеется около 175 миллионов возможных комбинаций. Как перечислить все эти комбинации таким образом, чтобы каждая из них встречалась только один раз, без дублирования? В начале 1960-х годов румынский математик Стефан Мандел задался этим вопросом относительно румынской лотереи, которая по масштабу гораздо меньше американских. Получить ответ оказалось совсем непросто. Мандел, однако, в конце концов решил задачу, правда потратив на нее несколько лет, и стал победителем в румынской лотерее 1964 года. (Он не скупил все комбинации, потому что это было бы слишком дорого, а применил вспомогательный метод, называемый «уплотнением», который гарантирует, что по крайней мере 5 из 6 чисел будут правильными. Обычно за угадывание 5 чисел полагается второй приз, но ему повезло, и он сразу же выиграл главный.) Записанный на бумаге алгоритм Мандела, позволяющий определить те комбинации, которые надо покупать, занял 8000 страниц. Вскоре после получения выигрыша он эмигрировал в Израиль, а затем в Австралию.

Уже в Мельбурне Мандел основал международный синдикат по лотерейным ставкам, собрав с его участников достаточно денег для того, чтобы при желании иметь возможность скупить все комбинации в лотерее. Он следил за проводимыми по всему миру лотереями с переходящими джекпотами, как минимум в три раза превышающими суммарную цену покупки всех комбинаций. В 1992 году в поле его зрения попала лотерея штата Виргиния, в которой было семь миллионов комбинаций, а каждый билет стоил 1 доллар, при том что джекпот достиг почти 28 миллионов долларов. Тогда Мандел принялся за дело. Он печатал купоны в Австралии, заполнял их на компьютере так, чтобы они охватили все семь миллионов комбинаций, а затем отправлял самолетом в Соединенные Штаты. И — получил главный приз, а заодно и 135 000 вторых призов!

Лотерея в Виргинии была самым большим из сорванных Манделом джекпотов, доведя счет его побед, одержанных после отъезда из Румынии, до 13. Служба внутренних доходов США (The U.S. Internal Revenue Service), ФБР, и ЦРУ проявили интерес к синдикату Мандела и попытались расследовать его методы участия в лотерее, но ничего противоправного эти уважаемые организации не нашли. Ведь нет ничего незаконного в том, чтобы скупить все комбинации, хотя это и слегка отдает аферой. Мандел в настоящее время отошел от дел, связанных с лотереями, и наслаждается жизнью на одном из тропических островов южной части Тихого океана [59] В марте 2011 года житель штата Нью-Йорк выиграл в лотерею «Мега-Миллионс» рекордный джекпот в размере 319 миллионов долларов. За всю историю лотереи это самая большая сумма, которая будет выплачена по одному выигрышному билету. ( Примеч. перев. ) .

Особенно выразительное и наглядное представление случайности изобрел в 1888 году Джон Венн (1834–1923). Венн, быть может, — наименее яркий из всех математиков, имя которых постоянно на слуху. Он был кембриджским профессором и англиканским клириком и провел большую часть жизни, занимаясь составлением сборника биографий 136 000 выпускников Кембриджа, получивших дипломы до 1900 года. Никаких революционных прорывов в своей науке он не совершил, но тем не менее разработал замечательный способ для объяснения логических рассуждений с помощью пересекающихся окружностей. Хотя в предшествующие столетия и Лейбниц, и Эйлер рассматривали нечто очень похожее, диаграммы были названы в честь Венна [60] В России распространено название «диаграммы Эйлера — Венна». ( Примеч. перев. ) . Гораздо меньше известно, что Венн придумал блестящий способ для иллюстрации случайности.

Представим себе точку, поставленную в центре белого листа бумаги. Из этой точки выходят восемь возможных направлений: на север, северо-восток, восток, юго-восток, юг, юго-запад, запад и северо-запад. Припишем этим направлениям числа от 0 до 7. Случайным образом выберем число от 0 до 7 и проведем отрезок прямой в направлении, отвечающем полученному числу. Будем делать так снова и снова, в результате чего на бумаге появится некая кривая. Венн проделал такое для самой непредсказуемой из известных ему числовых последовательностей — десятичного разложения числа π (откуда исключил восьмерки и девятки) [61] См. главу 4. ( Примеч. перев. ) . Результат, писал он, представлял собой «очень правильное наглядное представление случайности».