Джеймс Гордон - Почему мы не проваливаемся сквозь пол

Для определенности начнем анализ с консольной балки, то есть с балки, один конец которой встроен в стену или жестко закреплен каким-либо другим способом на любом основании (на языке инженеров это называется "заделка"): к другому концу консоли приложена нагрузка. Такую консоль рисовал еще Галилей (рис. 12); правда, он неверно рассчитал прочность своей консоли, что, впрочем, ему простительно. Мы же построим нашу консоль только из стержней и натянутых струн.

Рис. 12. Рисунок Галилея, иллюстрирующий испытания консольной балки.

Рассмотрим простую конструкцию типа крана, изображенную на рис. 13, а . Сжатый стержень 2 опирается на стену и поддерживается струной 1 , таким образом он может воспринимать внешнюю нагрузку (назовем ее W ). Очевидно, сила, противодействующая нагрузке W , возникает вследствие сжатия наклонного стержня 2 . Натяжение горизонтальной струны 1 лишь предохраняет сжатый стержень 2 от поворота и падения.

С таким же успехом мы можем воспользоваться другой треугольной конструкцией (рис. 13, б ), в которой сжатый стержень 4 занимает горизонтальное положение и удерживается от падения наклонной растянутой струной 3 . В этом случае сила, удерживающая вес W , обеспечивается струной, а горизонтальный сжатый стержень необходим лишь для того, чтобы струна не прижималась к стене.

Обе эти конструкции одинаково хороши, и мы можем объединить их в одну, способную выдержать вес 2 W , как показано на рис. 13, в . Ясно, что нагрузка 2 W непосредственно воспринимается наклонными элементами 2 и 3 , один из которых сжат, а другой растянут. Горизонтальные элементы 1 и 4 воздействуют на стену, один из них давит, другой - тянет, вместе они обеспечивают целостность конструкции, но не поддерживают вес груза непосредственно.

Рис. 13. Сопоставление напряженного состояния в сплошной балке и решетчатой ферме.

Пристроив к полученной конструкции еще одну, точно такую же, мы получим новую ферму, показанную на рис. 13, г . В этом случае тот же самый груз 2 W поддерживается сжатыми и растянутыми наклонными элементами 2 , 3 , 6 и 7 , в то время как элементы 1 , 5 , 4 и 8 сжаты и растянуты в горизонтальном направлении и, хотя они не поддерживают внешнюю нагрузку непосредственно, благодаря им ферма не рушится. Получается, что каждый элемент выполняет свою функцию и, если хотя бы один стержень или одна струна выйдет из строя, катастрофа неизбежна: каждый элемент по-своему важен.

Теперь посмотрим, как передается в нашей ферме нагрузка от элемента к элементу. Правая ячейка на рис. 13, г работает точно так же, как единственная ячейка на рис. 13, в . Однако в левой (внутренней) ячейке на рис. 13, г дело обстоит иначе. Растягивающее напряжение в струне 1 вдвое больше напряжения в струне 5 , а сжатие в стержне 4 в два раза превышает сжатие в стержне 8 . Это происходит потому, что диагональные элементы (назовем их "сдвиговыми") добавляют нагрузку на элементы, расположенные по направлению к месту заделки консоли. Однако во всех сдвиговых элементах независимо от длины фермы нагрузка одинакова.

Мы можем продолжать нашу ферму, пристраивая к ней все новые и новые ячейки, как это показано на рис. 13, д . Внимательно посмотрев на рисунок, мы поймем, что и здесь напряжения во всех диагональных элементах одинаковы. С другой стороны, напряжения сжатия и растяжения в нижних и верхних горизонтальных элементах от ячейки к ячейке возрастают (если двигаться от точки приложения нагрузки к месту заделки консоли). Нетрудно доказать, что это возрастание напряжения пропорционально номеру элемента (опять-таки считая от точки нагружения). Именно поэтому консоль всегда ломается в месте заделки, у стены, где возникают наибольшие напряжения, если, конечно, заранее не позаботиться о ее прочности и не подобрать все стержни соответственно действующей нагрузке. Если такой подбор сделан строго пропорционально нагрузке, то ферма становится равнопрочной, то есть может сломаться в любом месте, а это идеальный случай, составляющий цель многих расчетов на прочность. Совершенно ясно, почему мы хотим, чтобы материал был напряжен во всех точках одинаково; в этом случае материал используется с максимальной эффективностью, а конструкция имеет минимальный вес.