Альфред Тарский - Семантическая концепция истины и основания семантики

У меня есть некоторые сомнения относительно того, дает ли этот ответ адекватный анализ ситуации. Думаю, что люди, незнакомые с современной логикой, столь же мало склонны принимать противоречивую теорию, как и те, кому она хорошо известна. По-видимому, это верно даже для тех, кто считает логический закон, на который опирается аргументация, в высшей степени спорным и почти парадоксальным. Я не думаю, что наше отношение к противоречивым теориям изменится, даже если по некоторым причинам мы решим так ослабить нашу систему логики, что вывод любого предложения из двух противоречащих друг другу предложений окажется невозможным.

Мне кажется, что реальная причина нашего отношения заключается в ином: мы знаем (пусть лишь интуитивно), что противоречивая теория должна содержать ложные предложения, а мы не хотим считать приемлемой теорию, содержащую такие предложения.

Имеются различные методы установления того, что данная теория содержит ложные предложения. Некоторые из них опираются на чисто логические свойства обсуждаемой теории. Метод, рассмотренный только что (т. е. доказательство противоречивости), не является единственным методом этого типа, но считается наиболее простым и чаще всего используется на практике. С помощью определенных предположений относительно истины эмпирических предложений мы можем получить столь же эффективные методы, которые уже не носят чисто логического характера. Если мы решим принять общий постулат, сформулированный выше, то успех в применении любого из этих методов сделает теорию неприемлемой.

Что касается применимости семантики к математическим наукам и их методологии, т. е. к мета-математике, то здесь мы находимся в гораздо более выгодном положении, чем в случае эмпирических наук. Нам уже не нужно выискивать причины, которые бы оправдали некоторые надежды на будущее (занимаясь, таким образом, какой-то пропагандой в защиту семантики), здесь мы можем указать на конкретные полученные результаты.

Продолжают выражать сомнения, может ли понятие истинного предложения – в отличие от понятия доказуемого предложения – иметь какое-либо значение для математических дисциплин и играть какую-либо роль в методологическом анализе математики. Мне кажется, однако, что именно понятие истинного предложения образует наиболее важный вклад семантики в мета-математику. У нас уже имеется целый ряд интересных мета-математических результатов, полученных с помощью теории истины. Эти результаты относятся ко взаимоотношениям между понятиями истинности и доказуемости; устанавливают новые свойства второго понятия (которое, как известно, является одним из фундаментальных понятий мета-математики); и проливают некоторый дополнительный свет на важнейшие проблемы непротиворечивости и полноты. Наиболее интересные из этих результатов были кратко рассмотрены в разделе 12 [36].

Кроме того, с помощью методов семантики мы можем дать адекватные определения важным мета-математическим понятиям, которые до сих пор использовались лишь на интуитивном уровне, например понятию определимости или понятию модели системы аксиом. Это позволяет предпринять систематический анализ этих понятий. Исследования определимости, в частности, уже принесли некоторые интересные результаты и обещают еще больше в будущем [37].

Мы рассматривали применение семантики только к метаматематике, но не к собственно математике. Однако это различие между математикой и мета-математикой не имеет большого значения. Мета-математика сама является дедуктивной дисциплиной и поэтому с определенной точки зрения образует ветвь математики. Хорошо известно, что благодаря формальному характеру дедуктивного метода результаты, полученные в одной дедуктивной дисциплине, автоматически могут быть распространены на любую другую дисциплину, в которой первая находит свою интерпретацию. Так, например, все мета-математические результаты можно интерпретировать как результаты теории чисел. И с практической точки зрения также не существует резкой границы между мета-математикой и собственно математикой, например исследование определимости можно включить в любую из этих областей.

Это обсуждение мне хотелось бы завершить некоторыми общими и не вполне строгими замечаниями по поводу всей проблемы оценки научных достижений посредством их применимости. В этой связи я должен высказать некоторые сомнения.