Владимир Сурдин - Солнечная система (Астрономия и астрофизика)

Е р=V 0+V 1+V 2+… (7)

Здесь начальное слагаемое описывает притяжение шара с центром в центре масс Т и нам уже известно из формулы (4): V 0=—К 2/r . В отличие от силы, потенциал шара убывает обратно пропорционально первой степени расстояния от центра масс Т . Следующие слагаемые V s убывают обратно пропорционально r s+1 , причем V 1=0 . Если Q далеко, то достаточно взять несколько первых членов (7) или даже только начальный член, чтобы получить удовлетворительную точность. Иными словами, гравитационное поле любого тела с удалением от него все больше напоминает поле шара, в полном соответствии с наблюдением древних софистов, что издали и квадратная башня кажется круглой. Для близких Q (например, если Т — Земля, Q — ИСЗ) для высокоточного определения гравитации надо брать десятки и сотни слагаемых. Каждое из них представляет не очень сложную функцию координат точки Q . Например,

V 2=(A 1x 2+A 2y 2—(A1+A2)z 2+A 3xy+A 4yz+A 5zx)/r 5

Важно, что V s содержит числовые коэффициенты. Например, в V 2 их пять: A 1÷А 5 . Эти коэффициенты можно определить, измеряя гравитационный потенциал, или ускорение на поверхности тела или вблизи нее. А можно следить за движением его искусственных спутников. В любом случае мы получаем систему многих алгебраических уравнений со многими неизвестными (коэффициентами типа A s ). Ее решение непросто, но современная математика и вычислительная техника с этим справляется.

Итак, мы описали два способа представления гравитационного поля любого тела: тройным интегралом и рядом Лапласа. Существует еще несколько способов, и в каждой конкретной задаче можно выбрать оптимальный.

Перейдем к вопросу о форме, которую придает гравитация небесному телу. Пусть выполнены следующие три допущения. Во-первых, тело изолировано и компактно, т.е. никакие другие тела на него не действуют, а самогравитация значительна. Во-вторых, тело находится в жидком, газообразном или пластическом состоянии. В третьих, в теле нет источников энергии. Насколько реальны эти допущения?

1. Полной изолированности, конечно, нет. В качестве примера сравним силы, с которыми притягивают каждого из нас Земля ( F 1 ) и Луна ( F 2 ). В подлунной точке (там, где Луна видна в зените) в момент, когда Луна в перигее своей орбиты, F 2 максимальна. Но и тогда F 2/F 1≈4×10 - 6 . На самом деле влияние Луны на форму Земли еще меньше. Именно оно вызывает приливы, о чем еще будет рассказано. Сейчас достаточно заметить, что изолированность в Солнечной системе выдержана в очень хорошем приближении.

2. Солнце состоит из газа, планеты-гиганты тоже, с возможным включением жидкой и твердой фазы в центральных слоях, что несущественно. Земля же тверда, и только в центральной части присутствует жидкая фаза. Но на длительные воздействия Земля отвечает как пластическое тело, течет, как воск. — А горы? — спросите вы. Да, некоторые напряжения твердая земля может выдержать. Горы не сплющиваются, впадины не заполняются у нас на глазах. Но высота гор не может превзойти значения порядка 10 км, иначе давление превысит критическое, вещество подошвы станет пластическим, начнет расползаться под действием веса, и в результате высота горы уменьшится.

Подобная пластичность наблюдается у всех больших тел, вплоть до 500 км в диаметре. У малых тел, меньших 200 км в диаметре, гравитация незначительна, предположение пластичности не выполняется. Промежуточный случай 200-500 км с трудом поддается анализу, поскольку нужно знать древнюю историю тел. Если они подвергались сильному нагреву, то в это время были текучими и успели принять форму, диктуемую гравитацией. В противном случае они представляют собой бесформенные глыбы.

3. У планет земной группы, спутников, малых планет внутренние источники энергии существуют в виде рассеянных — в основном в коре — радиоактивных элементов. Но их энерговыделение крайне незначительно и может вызвать перемешивание вещества со скоростями разве что в сантиметры за год. Юпитер выделяет тепло за счет продолжающегося сжатия. Это приводит к конвекции вещества и дифференциальному вращению (период оборота вокруг оси зависит от широты и глубины). Солнце и большинство нормальных звезд спокойно выделяет энергию ядерных реакций, происходящих в центральной части. В результате мы наблюдаем конвекцию и дифференциальное вращение, как у планет группы Юпитера. Это вносит незначительные поправки в чисто гравитационную форму небесных тел.