Владимир Сурдин - Солнечная система (Астрономия и астрофизика)

Траектории небесных тел сложны и запутаны. Чтобы в них разобраться, поступим согласно канонам теории возмущений. Именно, выделим главные силы, действующие на систему и пренебрежем всеми остальными. Полученную упрощенную систему назовем невозмущенной. Решим ее. А уже потом добавим другие, малые силы. А малое воздействие, — как принято говорить, малое возмущение, — учесть значительно легче (об этом позже).

Массы планет значительно меньше массы дневного светила. Юпитер в тысячу раз легче Солнца, Сатурн в три раза легче Юпитера, Земля в сто раз легче Сатурна… Поэтому в первом приближении можно считать, что на каждую из планет действует только притяжение Солнца.

Еще более идеализируем задачу, предполагая планету материальной частицей пренебрежимо малой массы. Но Солнце считать «частицей» нельзя, оно имеет внушительные видимые размеры. Примем, что Солнце — идеальный шар, плотность которого зависит лишь от расстояния до его центра. Как доказал И. Ньютон, шар притягивает внешние частицы как материальная точка той же массы, помещенная в его центре. Мы пришли к модельной задаче одного притягивающего центра. Каковы траектории частицы в поле притяжения массивной центральной точки S ? Как показал Ньютон, возможны четыре типа орбит:

1. Лучили отрезок, лежащие на прямой L , проходящей через центральное тело S . Этот случай имеет место, если начальная скорость направлена точно к S или точно в противоположную сторону. Это свойство сохраняется во все время движения, что лишний раз подчеркивает условность термина «начальная». Остальные три типа орбит — плоские кривые, не содержащие прямолинейных участков.

2. Эллипс(рис.2). Центральное тело S , как ни странно это звучит, находится не в центре эллипса, а в одном из двух его фокусов. Отличие эллипса от окружности измеряется эксцентриситетом е — отношением расстояния между фокусами к длине большой оси. Эксцентриситет окружности равен нулю. Эллипс тем более вытянут, чем ближе е к единице.

Рис.2

3. Парабола(рис.3). По параболе частица уходит в бесконечность. Скорость частицы уменьшается, неограниченно приближаясь к нулю. Фигурально выражаясь, частица уходит в бесконечность и останавливается там.

Рис.3.

4. Гипербола(рис.4). По гиперболе частица уходит в бесконечность, приближаясь к некоторой прямой, асимптоте. Скорость частицы приближается к некоторой положительной величине υ ∞ — скорости на бесконечности, оставаясь все время больше нее.

Рис.4.

По какой из трех кривых будет двигаться частица зависит от полной механической энергии Е единицы массы, включающей в себя кинетическую Е к и гравитационную потенциальную Е р . Поскольку трения нет, то Е сохраняется во все время движения. Оказывается, частица движется по эллипсу, если Е<0 ; по параболе, если Е=0 ; по гиперболе, если Е>0 . Напомню, что потенциальная энергия имеет смысл с точностью до постоянного слагаемого. В физике и астрономии это слагаемое принято фиксировать условием Е р=0 , когда частица находится бесконечно далеко от S .

При таком соглашении

Е к=υ 2/2 и Е р=—К 2/r , (4)

где К =√GM , а М — масса S . Если расстояния измерять в километрах, время — в секундах, то К=364305 , если S — Солнце; К = 631,35 , если S — Земля. На практике часто вместо Е используют более наглядную величину — скорость υ=√2Е к . Критическому значению Е=0 отвечает вторая космическая скорость υ II (называемая также скоростью убегания или параболической скоростью). Понятно, что υ II — не число, а зависящая от расстояния до S величина: скажем, для спутника Земли υ II=11 км/с вблизи поверхности планеты, но υ II=1,5 км/с у орбиты Луны. Полезно знать, что первая космическая (круговая) скорость υ I и параболическая скорость υ II различаются только множителем √2 : υ II=υ I√2≈1,41υ I

Между круговой и параболической скоростями есть принципиальная разница. Чтобы двигаться по окружности, круговую скорость следует направить перпендикулярно радиусу-вектору, соединяющему центральное тело и частицу. Чтобы уйти на бесконечность, достаточно развить параболическую скорость; при этом ее направление безразлично, лишь бы избежать столкновения с S .