Александр Петров - Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор

Обсудим слабый принцип эквивалентности. Свободное движение какого-либо тела по инерции в поле тяготения является обобщением свободного движения в инерциальной системе отсчета в пространстве Минковского. Для такого движения взаимные ускорения всех свободных тел в ближайшей окрестности равны нулю. То есть собственная система отсчета исходного тела локально является инерциальной.

Приведем пример, несколько избитый, но наглядный. Представим закрытую со всех сторон кабину лифта. Если удерживающий ее трос вдруг оборвется, то кабина вместе со всем содержимым начнет свободно падать под действием силы тяжести, все тела в ней будут ускоряться совершенно одинаково. Наблюдатель, находящийся внутри такой кабины, не почувствует веса своего тела, а окружающие его предметы будут свободно «парить» в воздухе или двигаться прямолинейно и равномерно, не испытывая ускорений. Для стороннего взгляда все тела внутри кабины ускоряются точно так же, как и она сама (именно этот факт доказал Галилей). И поэтому всё в лифте для внутреннего наблюдателя окажется невесомым. Какие бы опыты он не проводил внутри кабины, он не сможет с их помощью установить, падает ли лифт на Землю или свободно парит в космическом пространстве.

Итак, внутри лифта (в небольшом объеме) наблюдатель ощущает себя вполне в пространстве Минковского и локально может использовать координаты Лоренца. Его мировая линия в этих координатах – это вертикальная линия вдоль оси ct . Следовательно, ускорение для наблюдателя в лифте отсутствует, а значит, отсутствует и «гравитационная сила». Но во внешней для лифта системе отсчета эта же мировая линия (геодезическая) будет выглядеть как кривая.

Пусть пространство искривлено, как это определить? Если запустить из двух близких точек два тела параллельно друг другу, то, двигаясь по геодезическим, они начнут либо сближаться, либо удаляться друг от друга. Этот эффект называется девиацией геодезических. Как это осознать? Если два путешественника начнут перемещаться по двум близким меридианам, начиная от экватора, то они будут сближаться и встретятся на полюсе. Это как раз говорит о том, что поверхность Земли, имея форму сферы, искривлена. Если бы радиус Земли увеличился, то кривизна уменьшилась бы, ведь поверхность Земли стала бы площе. Аналогично, в пространстве-времени девиация геодезических определяет его кривизну.

Математически кривизна определяется так называемым тензором кривизны Римана , величиной, которую нельзя обратить в нуль никакими преобразованиями координат, если пространство-время искривлено. Это понятие исключительно геометрическое. Пространство-время становится искривленным всегда, когда содержит материю в том или ином состоянии, так или иначе расположенную и движущуюся тем или иным образом. Однако оно может быть искривлено и в отсутствии материи! Для плоского пространства-времени тензор кривизны равен нулю.

Необходимо обсудить еще один принцип, который чаще называют сильным принципом эквивалентности. Существуют разные его формулировки, приведем нечто усредненное.

Малая по размерам локальная система отсчета, находящаяся в гравитационном поле, неотличима от такой же системы, но ускоренной относительно инерциальной системы отсчета, связанной с пространством Минковского.

Обычно этот принцип иллюстрируют следующим образом. Находясь в кабине, стоящей на поверхности Земли, наблюдатель ощущает свой обычный вес и замечает, что все предметы совершенно одинаково ускоряются по направлению к полу. Если же кабина, снабженная реактивным двигателем, вместе с наблюдателем переместится в космическое пространство, где будет двигаться с ускорением, в точности равным гравитационному ускорению у поверхности Земли, то наблюдатель снова обнаружит, что все свободные предметы падают на пол с тем же самым ускорением и опять почувствует свой нормальный вес. В такой закрытой кабине невозможны никакие эксперименты, которые позволили бы наблюдателю отличить явления, связанные с тяготением, от явлений, характерных для ускоренного движения.

Часто считают, что этот принцип тоже лежит в основе общей теории относительности. Однако это не так однозначно. Даже сейчас, почти через 100 лет после создания ОТО, в профессиональной литературе время от времени выходят статьи с обсуждением роли этого принципа. Даже его название является предметом дискуссии.