Кит Йейтс - Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Карту, «зашитую» в спутниковый навигатор, можно рассматривать как набор перекрестков, соединенных между собой протяженностью дорог. Проблема, с которой сталкиваются спутниковые навигаторы, пытаясь найти кратчайший путь между двумя точками через лабиринт дорог и перекрестков, выглядит столь же сложной, как и задача коммивояжера. Действительно, с ростом количества дорог и перекрестков число возможных маршрутов растет астрономически быстро. Достаточно горстки дорог и кучки развязок, чтобы довести количество возможных маршрутов до триллионов. Если бы единственным способом найти решение был подсчет всех возможных маршрутов и сравнение общего пройденного расстояния для каждого из них, то это была бы проблема NP-класса. К счастью для всех, кто использует спутниковую навигацию, для этого есть эффективный метод – алгоритм Дейкстры, который находит кратчайшие маршруты в заданных условиях за полиномиальное время [157] Dijkstra, E. W. (1959). A note on two problems in connexion with graphs. Numerische Mathematik, 1 (1), 269–71. .

Например, в поисках кратчайшего пути от дома до кинотеатра алгоритм Дейкстры выстраивает маршрут в обратном направлении – от кинотеатра. Если известно кратчайшее расстояние от дома до всех перекрестков, соединенных с кинотеатром одним отрезком дороги, то работа существенно упрощается. Мы можем просто рассчитать кратчайший путь до кинотеатра, добавляя к длине дорог, соединяющих кинотеатр с ближайшими к нему перекрестками, длину путей от дома до этих перекрестков. Конечно, в начале процесса расстояния от дома до ближайших к кинотеатру перекрестков неизвестны. Однако, использовав ту же процедуру снова, мы можем найти кратчайшие пути до этих предпоследних перекрестков, используя кратчайшие пути от дома до тех перекрестков, которые с ними соединяются. Применяя эту логику рекурсивно, перекресток за перекрестком, мы возвращаемся дому, откуда и начинаем путешествие. Поиск кратчайшего маршрута через дорожную сеть, который просто требует от нас неоднократно делать правильный локальный выбор, – жадный алгоритм. Чтобы реконструировать маршрут, мы просто отслеживаем развязки, через которые нам пришлось пройти, чтобы найти это кратчайшее расстояние. Когда вы ищете через Google Maps наилучший маршрут до кинотеатра, в недрах программы обработку данных начинает, скорее всего, какая-то из вариаций алгоритма Дейкстры.

Когда вы, добравшись до кинотеатра, намереваетесь оплатить парковку, в билетном автомате вполне может не оказаться сдачи. Если у вас достаточно монет, то вы, скорее всего, захотите, как можно быстрее набрать точную сумму. Жадный алгоритм, который в такой ситуации многие используют интуитивно, состоит в том, чтобы вставлять в прорезь монету наивысшего достоинства, но меньше оставшейся к оплате суммы.

Большинство денежных систем – в Великобритании, Австралии, Новой Зеландии, ЮАР, Европе и т. д. – имеют структуру 1–2–5, при этом достоинства монет или банкнот в этой структуре увеличиваются кратно деноминации. В Великобритании, например, в обращении 1-, 2– и 5-пенсовые монеты. Далее следуют монеты достоинством 10, 20 и 50 пенсов, затем монеты в 1 фунт и 2 фунта стерлингов, за которыми следуют 5-, 10-, 20– и, наконец, 50-фунтовые банкноты. Таким образом, чтобы в рамках этой системы набрать 58 пенсов мелочью с помощью жадного алгоритма, нужно взять 50-пенсовик, оставив 8 пенсов до требуемой суммы; 20 и 10 пенсов уже превысят нужную величину, поэтому добавляем 5 пенсов, затем 2 пенса и наконец пенни. Получается, что во всех валютных системах такого типа, включая американскую, исполнение описанного выше жадного алгоритма позволяет набрать нужную сумму из наименьшего количества монет.

Но вовсе не обязательно, что этот алгоритм будет работать в любой валютной системе. Если бы вдруг существовала еще и 4-пенсовая монета, то последние 8 пенсов из 58 можно было бы набрать всего двумя 4-пенсовыми монетами вместо монет по 5, 2 и 1 пенсу. Любая валюта, для которой каждая монета или банкнота по крайней мере в два раза дороже, чем предыдущая по номиналу, удовлетворяет условиям жадного алгоритма. Это объясняет преобладание структуры «1–2–5» – соотношения 2 или 2,5 между номиналами гарантируют, что жадный алгоритм будет работать, а простая десятеричная система сохраняется. Поскольку мелочь требуется практически повсеместно, почти все валюты мира организованы таким образом, чтобы удовлетворять условиям жадного алгоритма – за исключением Таджикистана, где в обращении ходят монеты достоинством в 5, 10, 20, 25 и 50 дирамов. 40 дирамов проще набрать двумя монетами по 20, чем монетами по 25, 10 и 5 дирамов, что предлагает жадный алгоритм.