Кит Йейтс - Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Проблема «P vs NP» заключается в вопросе, все ли проблемы класса NP, решения которых можно быстро проверить, но алгоритм быстрого решения, которых неизвестен, действительно являются и членами класса P. Может быть, проблемы класса NP имеют практический алгоритм решения, но мы его просто еще не нашли? В математической терминологии, равны ли P и NP? Если да, то, как мы увидим, потенциал применения этого равенства – даже для решения повседневных задач – огромен.

Роб Флеминг, главный герой классического романа 90-х Ника Хорнби «Hi-Fi», – одержимый музыкой владелец магазина подержанных пластинок Championship Vinyl. Периодически Роб пересортировывает свою огромную коллекцию пластинок в разном порядке – по алфавиту, по хронологии и даже автобиографически (порядок, в котором он покупал свои пластинки, рассказывал историю его жизни). Сортировкой и составлением каталогов занимаются не только любители музыки в поисках катарсиса – это способ организации информации, позволяющий быстро сгруппировать ее в соответствии с необходимыми критериями и получить данные по конкретному запросу. Когда вы одним кликом группируете письма в своем электронном почтовом ящике по дате, отправителю или теме, ваш клиент электронной почты реализует эффективный алгоритм сортировки. eBay реализует алгоритм сортировки, когда вы выбираете категории товаров, соответствующих вашему поисковому запросу, переходя от «наилучшего соответствия», к «наименьшей цене» или «заканчивающиеся быстрее всего». После того как Google определит, насколько точно веб-страницы соответствуют заданным вами поисковым критериям, ему необходимо быстро отсортировать страницы и представить их вам в правильном порядке. Эффективные алгоритмы, позволяющие достичь этой цели, пользуются большим спросом.

Один из способов сортировки набора предметов заключается в составлении списков, где зафиксированы все возможные комбинации предметов, и последующей проверке всех этих записей, чтобы убедиться, что порядок правильный. Представьте, что ваша музыкальная коллекция состоит всего из пяти альбомов – по одному от Led Zeppelin, Queen, Coldplay, Oasis и Abba. Но эти пять альбомов можно расставить (сгруппировать) 120 разными способами. Шесть альбомов – 720 способами, десять – более чем тремя миллионами способов. Количество комбинаций растет настолько быстро, что любой уважающий себя фанат пластинок запретит себе даже пытаться перепробовать их все: это просто нереально.

К счастью, как вы, вероятно, знаете из собственного опыта, сортировка коллекции записей, книг или DVD-дисков является проблемой категории Р – одной из тех, для которых есть практическое решение. Самый простой алгоритм такого решения называется пузырьковая сортировка (или сортировка простыми обменами). Работает он следующим образом. Мы сокращаем исполнителей из нашей скудной коллекции записей до первых букв – L, Q, C, O и A с тем, чтобы расставить их в алфавитном порядке. Алгоритм пузырьковой сортировки проверяет весь набор попарно слева направо и меняет соседние альбомы, если они расположены неверно (не в алфавитном порядке). Он продолжает просматривать альбомы, пока не расставит все в правильном порядке, рассортировав всю коллекцию. На первом проходе L остается на том же месте (в алфавите она идет раньше Q), но при сравнении Q и C алгоритм определит, что они расставлены неверно и поменяет их местами. Дальше сортировка продолжается: в процессе первого прохода местами поменяются Q и O, а затем – Q и A; список приобретет вид L, C, O, A, Q. К концу этого прохода Q окажется на своем законном месте в конце списка. На втором проходе С поменяется местами с L, а А – с О, в результате чего О тоже окажется в правильном месте: C, L, A, O, Q. Для того чтобы поставить А на первое место и выстроить весь список в правильном алфавитном порядке, потребуется еще два прохода.

Сортируя пять альбомов, нам пришлось прочесать несортированный список четыре раза, каждый раз делая по четыре сравнения. С десятью альбомами нам потребовалось бы девять проходов с девятью сравнениями в каждом. Это означает, что объем работы, который мы должны выполнить во время сортировки, растет почти в квадрате количества сортируемых объектов. Для сортировки большой коллекции потребуется уйма работы, но все же сотни сравнений, которые нужны, чтобы рассортировать 30 альбомов при пузырьковом алгоритме выглядят привлекательнее триллионов возможных расстановок, которые нам пришлось бы рассмотреть, возьмись мы сортировать коллекцию путем простого (полного) перебора всех возможных комбинаций. Несмотря на все достоинства пузырькового метода, ученые-компьютерщики отзываются о нем пренебрежительно, считая его неэффективным. В реальных интернет-приложениях, таких как лента новостей Facebook или лента фотографий Instagram, где нужно сортировать и отображать в соответствии с последними приоритетами технологических гигантов миллиарды сообщений, от простых пузырьковых алгоритмов приходится отказываться в пользу их более современных и совершенных родичей. Сортировка слиянием, например, сначала разбивает сообщения на небольшие группы, которые затем быстро сортируются и компонуются в правильном порядке.