Пол Халперн - Квантовый лабиринт. Как Ричард Фейнман и Джон Уилер изменили время и реальность [litres]

Можно продемонстрировать, как работает принцип Ферма, показав, как свет путешествует из источника в определенном направлении по всем возможным траекториям. Каждая световая волна имеет фазу, этот термин относится к величине запаздывания в волновом цикле. Если у двух волн одна фаза, их пики и впадины идеально совпадают, если они расходятся на 180 градусов, то пики одной волны совпадают с впадинами другой. Если фазы отличаются на другую величину, то пики и впадины не совпадают и не чередуются, напоминая нечто вроде застежки-молнии с несинхронно расположенными зубцами.

Световые волны, двигающиеся практически одинаковыми маршрутами, обычно мало отличаются по фазе. Если, с другой стороны, две световые волны выбирают разные пути, то временная задержка часто приводит к значительной фазовой разнице. Следовательно, близость траекторий является простейшим способом гарантировать минимальную разность фаз.

Отличие между сходными и разными путями проявляется в процессе интерференции: наложения волн таким образом, что возникает одна-единственная волна. Волны без сдвига фаз, или с малым сдвигом, демонстрируют конструктивную интерференцию, пики и впадины накладываются и формируют более мощную волну. Другая ситуация при разности фаз, близкой к 180 градусам: тут происходит деструктивная интерференция, пики и впадины гасят друг друга, и получается более плоская волна.

Таким образом, две волны, идущие схожими маршрутами, должны интерферировать конструктивно. Волны, идущие различными путями, могут в разной степени отличаться по фазе, поэтому и взаимодействуют они по одному из многочисленных шаблонов, большей частью деструктивных.

Теперь разберемся, где в дело вступает принцип Ферма.

Рассмотрим интерференцию всех волн, представляющих все возможные пути от источника к точке назначения. Те волны, чьи маршруты требуют наименьшего количества времени, почти совпадают по фазе. Следовательно, они интерферируют конструктивно, и результатом становится волна с большей амплитудой (высотой пиков и глубиной провалов). Другие волны, наоборот, гасят друг друга из-за разности фаз, формируют более плоские профили.

Таким образом, путь с наименьшим временем становится наиболее заметным, и мы видим его как луч света.

В классической механике объектам не всегда требуется наименьшее время и/или кратчайший путь, чтобы путешествовать из одной точки в другую. Вы бы удивились, если бы бросили баскетбольный мяч и увидели, что он отправился к кольцу по прямой линии. Подобный объект будет следовать по определенной кривой, по параболе, и здесь придется использовать другой физический принцип, принцип наименьшего действия, чтобы объяснить его поведение.

Действие – это особенная величина, определяемая умножением единиц энергии на время. В отличие от таких переменных как позиция или скорость, которые отличаются от точки к точке и от момента к моменту, она определяется для траектории в целом, от одного события в пространстве и времени до другого.

Действие связано с другой величиной, именуемой «лагранжиан», которая представляет собой разницу между кинетической энергией (энергией движения) и потенциальной энергией (энергией положения) для определенного объекта или набора объектов. Вкратце говоря, действие – это интеграл (сумма) значений лагранжиана для каждого момента времени вдоль определенной траектории.

Когда вы бросаете баскетбольный мяч, например, и тот взлетает в воздух, его кинетическая энергия трансформируется в потенциальную, а значение лагранжиана уменьшается. Когда мяч падает к кольцу, потенциальная энергия превращается в кинетическую, а значение лагранжиана растет. Умножим значения лагранжиана для каждого момента времени на бесконечно малый временной интервал, сложим эти значения, используя интегральное исчисление, и получим значение действия для данной траектории.

Ирландский математик Уильям Гамильтон предложил принцип наименьшего действия. В соответствии с ним объект выбирает траекторию, которая оптимизирует (минимизирует или максимизирует) действие. Обычно минимизирует. Следовательно, если вы рассчитаете действие для каждого возможного пути, которым может двинуться баскетбольный мяч, то наименьшая величина определит настоящую траекторию.

С математической точки зрения высчитывание действий для всех возможных путей и минимизация действия реализуется как набор соотношений, именуемых уравнениями Лагранжа. Они описывают то, как на самом деле движется тело, и в случае с баскетбольным мячом определяют параболическую кривую от рук к кольцу.