Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

110. bОпределите плотность бумаги, на которой напечатаны «Правила броккийского ультра-крикета», в килограммах на кубический метр. Обычная бумага обладает поверхностной плотностью 75 граммов на квадратный метр и толщиной 0,1 мм.

110. сВычислите массу (в массах Солнца) и радиус (в а. е.) черной дыры, с плотностью, равной плотности такой бумаги.

110. dСколько страниц в «Правилах броккийского ультра-крикета»? Предположим, что его страницы стандартного размера (8,5 дюй-

* Дуглас Адамс, «Жизнь, Вселенная и все остальное» (том 3 серии «Путеводитель по галактике для путешествующих автостопом», 1982), глава 19 (пер. В. Баканова).

121

ЧАСТЬ III. Эйнштейн и Вселенная ма 11 дюймов). Для простоты вычислений считайте книгу сферической

(обычное приближение для таких задач). Что было бы, если бы книга была даже длиннее, чем вы только что вычислили? Сколлапсировала бы она в черную дыру?

111. Столкновение черных дыр!

Четырнадцатого сентября 2015 года Лазерно-интерферометрическая гравитационно-волновая обсерватория (ЛИГО, LIGO) уловила сигнал от пары столкнувшихся черных дыр. Сигналом была гравитационная волна, пришедшая на детектор. Коротко говоря, обсерватория ЛИГО использует лазеры, чтобы с большой точностью измерять расстояние между парами зеркал, находящимися в 4 километрах друг от друга; когда приходит гравитационная волна, это расстояние периодически осциллирует с крошечной амплитудой.

111. аПеред самым столкновением черных дыр, отмеченным пиком гравитационного излучения, период осцилляций составлял 0,004 с (что соответствует частоте 250 Гц, то есть немного ниже «до» первой октавы на фортепиано).

Когда две черные дыры собираются слиться, их горизонты событий соприкасаются, и черные дыры вращаются друг вокруг друга по орбитам со скоростями, близкими к скорости света. Вычислите массу черных дыр на основании этих данных. Для простоты предположите, что масса черных дыр одинакова. Ответ выразите в массах Солнца с точностью до одной значащей цифры.

111. bДетальная модель сигнала от гравитационной волны 14 сентября

2015 года показала, что две первоначальные черные дыры обладали массами

36 и 29 масс Солнца (то есть наше предположение, что их массы равны, было вполне правомочным). Они слились и создали одну черную дыру с массой 62 массы Солнца. Разница — 3 массы Солнца — была преобразована в энергию и излучилась в виде гравитационных волн, которые и удалось в конце концов зарегистрировать на Земле. Эта энергия высвободилась примерно за 0,02 с. Вычислите светимость этой вспышки в ваттах.

122

20. Черные дыры

111. сНайдите светимость в видимом свете всех галактик в наблюдаемой Вселенной. Для этого примите общее количество галактик за 1011 и предположите, что в каждой галактике содержится 1011 звезд со светимостью, равной светимости Солнца (см. задачу 69). Каково отношение светимости сливающихся черных дыр и светимости всей наблюдаемой Вселенной?

111. dНесмотря на колоссальность выделившейся энергии, зафиксированный сигнал здесь, на Земле, был совсем крошечным. Измеренная величина называется «растяжение», и это доля, на которую изменилось четырехкилометровое расстояние между зеркалами ЛИГО. Пиковое растяжение составило 10–21. Вычислите, какому изменению расстояния оно соответствовало; ответ выразите в ангстремах. Чтобы почувствовать, насколько это маленькое расстояние, сравните его с радиусом протона —

около 10–5 ангстрем.

112. Добываем энергию из пары черных дыр

В этой задаче мы будем использовать идеи Стивена Хокинга относительно площади поверхности горизонта событий черной дыры, чтобы найти, сколько энергии можно добыть из пары черных дыр. Хокинг показал, что при столкновении двух черных дыр площадь горизонта событий возникшей в результате черной дыры должна быть больше, чем сумма площадей горизонтов событий первоначальных черных дыр.

Возьмем две невращающиеся черные дыры Шварцшильда в состоянии покоя, каждая массой М , на большом расстоянии друг от друга. Уроним их и дадим упасть друг на друга под воздействием взаимной гравитации, пока они не столкнутся и не образуют одну черную дыру. Поскольку первоначальные черные дыры не вращаются, а падают они прямо друг на друга, никакого углового момента в системе нет, и получившаяся в результате черная дыра тоже не будет вращаться.

Когда две черные дыры падают друг на друга и сталкиваются, они создают переменные гравитационные поля, порождающие гравитацион-