Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

78. аВ задаче 76 вы нашли, что М (< r ), масса вещества Млечного Пути, содержащегося в пределах радиуса r , задается формулой

(<) 2 vr

M

r =

.

G

Более того, кривая вращения Млечного Пути плоская, а значит, величина v не зависит от r (кроме нескольких тысяч световых лет в самом центре, глубоко в пределах орбиты Солнца). На основании этих сведений мы рассчитаем плотность вещества в окрестностях Солнца. Начнем с алгебраических преобразований: представим себе тонкую сферическую оболочку радиусом r и толщиной r , центр которой совпадает с центром Млечного Пути. Вычислите массу вещества в пределах этой оболочки, то есть М (<( r + r )) — М (< r ), и ее объем. Отношение этих величин даст вам плотность на расстоянии r .

78. bТеперь подставьте числа для положения Солнца в Млечном

Пути. Радиус орбиты Солнца r = 25 000 световых лет, а скорость вращения Млечного Пути v = 220 километров в секунду. Какова плотность этого объема в граммах на кубический сантиметр? Достаточно точности до одной значащей цифры.

78. сТеперь предположим, что половину средней плотности этой оболочки дают звезды и газ, а вторая половина — это темное вещество в форме вимпов. Массы элементарных частиц принято измерять в элек-

88

11—13. Млечный Путь и Вселенная галактик троновольтах (эВ). Электроновольт — это на самом деле мера энергии.

1 электроновольт = 1,6 10–12 эрг; связь между массой и энергией описывается знаменитой формулой Эйнштейна E = mc 2. Во-первых, вычислите с точностью до двух значащих цифр массу протона в электроновольтах.

Во-вторых, предположив, что темное вещество состоит из частиц с массой в 1000 раз больше массы протона, вычислите плотность частиц темного вещества в окрестностях Солнца (число этих частиц на кубический сантиметр).

78. dЗдесь вернемся к алгебраическим преобразованиям, а числа подставим потом. Обозначим плотность вимпов, которую вы вычислили в части с), как n . Ветер из вимпов мчится мимо нас со скоростью v . Рассмотрим детектор темного вещества, состоящего из куба вещества со стороной

L и содержащего М килограммов вещества. Вимпы взаимодействуют с составляющими это вещество протонами и нейтронами (их общее название —

нуклоны), каждый массой m . Куб окружен фотоэлектронными умножителями

(ФЭУ), которые регистрируют крошечные вспышки света, возникающие при каждом взаимодействии.

Вычислите количество вимпов, проходящих через детектор за секунду, опираясь на эти данные. Считайте, что одна сторона детектора перпендикулярна направлению ветра вимпов.

78. еТеперь вычислите вероятность, что один вимп при прохождении сквозь детектор вступит во взаимодействие. Вычислите объем, который заметает его сечение при прохождении сквозь куб. Вероятность, что он провзаимодействует с каким-нибудь нуклоном, — произведение этого объема на плотность нуклонов (в штуках на кубический метр).

78. fДокажите, что количество взаимодействий в вашем детекторе на единицу времени — это просто произведение ответов на части d) и е).

Выведите формулу для этой величины на основании n, v, M, m и.

78. gТеперь подставьте числа. Мы воспользуемся параметрами эксперимента Large Underground Xenon (LUX) : 370 килограммов жидкого ксенона размещены в подземной лаборатории в Хоумстейк-Майн в Южной

89

ЧАСТЬ II. Галактики

Дакоте. Вы уже вычислили ожидаемую количественную плотность вимпов и их скорость. По оценкам, сечение взаимодействия вимпа с одним нуклоном составляет 10–45 см2 — и это очень маленькое число. Для сравнения, сечение для электрона на 21 порядок больше, чем для вимпа. Однако квантово-механические эффекты взаимодействия между вимпами и нуклонами увеличивают это сечение на множитель А 2, где А = 131 — это атомная масса ксенона. Вычислите количество взаимодействий, которое следует ожидать на детекторах Large Underground Xenon за год.

79. Вращение галактик

Одна из самых красивых галактик на небосводе — галактика Вертушка

(Messier 101). Это спиральная галактика, диск которой мы наблюдаем анфас, за что она и получила свое название. Взгляните на рис. 13.1 «Большого космического путешествия» и обратите внимание, что и маленькая выпуклость в середине, и длинные спиральные «щупальца» пронизаны молодыми голубыми звездами. До этой галактики от нас 30 миллионов световых лет, а ее радиус примерно равен 40 000 световых лет.