Нил Тайсон: Добро пожаловать во Вселенную

Майкл А. Стросс

март 2017 года

НЕМНОГО МАТЕМАТИКИ

ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ

Курсы математики в школе и вузе приучили вас к мысли, что число —

это абсолютное и точное количество. Так, например, если вас просят разделить 10 на 3, точный ответ равен 3,3333… или 3, 3, где знак ¯

над цифрой 3 означает, что тройки будут тянуться бесконечно.

Однако в физике, а особенно в астрономии, точные числа сплошь и рядом не известны. Мы указываем количество значащих цифр в записи числа, то есть количество цифр, которыми оно записывается в экспоненциальном представлении. Например, у числа 5,2987 10–11 пять значащих цифр, а у числа 4 (= 4 100) только одна значащая цифра. Когда мы записываем число с определенным количеством значащих цифр, мы тем самым утверждаем, что это число нам известно с конкретной точностью. То есть, когда мы записываем число вроде 5,2987 10–11, мы говорим, что уверены, что оно не больше чем 5,2988 10–11 и не меньше чем 5,2986 10–11. Такая погрешность (или точность) сохраняется в ходе всех вычислений с участием этого числа.

Например, предположим, нам известно, что до ближайшей звезды около 4 световых лет, и нас попросили перевести это число в километры.

Мы знаем, что 1 световой год примерно равен 9,46 1012 км, поэтому вычислить это просто:

9

Немного математики

12

9,46×10 км

13

4 световых года = 4 световых года×

= 3,784×10 км.

1 световой год

Ваш калькулятор покажет такое число, но это неправильный ответ.

Дело в том, что число 4 световых года дано вам лишь с одной значащей цифрой. То есть из формулировки задачи мы знаем лишь, что расстояние до ближайшей звезды от 3,5 до 4,5 светового года (то есть от 3,3 1013 км до 4,5 1013 км). Поэтому давать ответ с четырьмя значащими цифрами ошибочно и нецелесообразно: из этого следовало бы, что вы знаете ответ гораздо точнее, чем на самом деле.

Поэтому правильно проводить любые вычисления с участием умножения и деления с ограничением точности ответа до точности заданного числа с наименьшим количеством значащих цифр. В нашем случае значение 4 световых года имеет ровно одну значащую цифру, поэтому и ответ должен содержать одну значащую цифру. Правильный ответ в нашем примере — 4 1013 км.

Обратите внимание, что если бы мы сообщили вам, что расстояние до ближайшей звезды составляет 4,00 световых года, то таким образом вам были бы заданы три значащие цифры, и тогда вы должны были бы дать результат в километрах в виде числа с тремя значащими цифрами.

В ходе астрономических исследований часто оказывается, что те или иные величины известны довольно приблизительно — с одной или двумя значащими цифрами. Это делает расчеты существенно проще, чем в других случаях. Когда производишь арифметические вычисления с одной значащей цифрой (как во многих задачах из этой книги), все и правда упрощается, а вы получаете возможность делать приближения, от которых ваш школьный учитель физики пришел бы в ужас, например, 4/3 1,3 3 10 и так далее.

Вернемся к примеру с 4 световыми годами. Мы уже знаем, что окончательный ответ должен содержать только одну значащую цифру, поэтому имеем право округлить количество километров в световом годе до одной значащей цифры: 1 световой год = 1 1013 км. Теперь вычисления становятся настолько простыми, что мы обойдемся без калькулятора:

10

Немного математики

13

1×10 км

13

4 световых года = 4 световых года×

= 4×10 км.

1 световой год

Вычислить это проще, чем первое выражение, здесь труднее сделать ошибку, и более того, вычисление даст нам ответ с верным числом значащих цифр. В решениях задач из этого сборника мы приведем множество примеров подобных арифметических вычислений без калькулятора. Однако при длинных расчетах иногда полезно сохранить одну дополнительную значащую цифру в процессе вычисления, а округлить только в конце. Приведем простой пример: при вычислении 2,4 4 у вас может возникнуть искушение округлить первый множитель до 2 и получить результат 8. Но на самом деле вычисления дают 9,6, а при округлении получается 10.

На минутку остановимся на том, зачем нужны значащие цифры. На самом деле они выражают неопределенность наших знаний о той или иной величине. Так, предположим, нам задали сложить 8 и 6. Единственная значащая цифра в обоих случаях предполагает погрешность около одного

(приблизительно) в каждом слагаемом. Сумма 8 и 6 равна 14; следует ли нам округлять результат до одной значащей цифры, то есть до 10? В этом случае — нет, поскольку мы знаем, что погрешность суммы приблизительно равна сумме погрешностей двух слагаемых (то есть составляет около двух)*.