Хавьер Фресан - Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

В отличие от классических множеств, граница которых подобна отвесному утесу, множества, изучаемые в нечеткой логике, определяются функцией принадлежности, которая воспроизводит форму пологого склона. Рассмотрим в качестве примера множество высоких людей. Если считать, что люди ниже 1,60 м низкие, выше 1,90 м — высокие, то функция принадлежности этого множества примет следующий вид:

Функция принадлежности нечеткого множества высоких людей. График функции имеет форму склона.

Выполнив некоторые вычисления, можно доказать, что степень принадлежности тех, чей рост менее 1,60 м, к множеству высоких людей равна 0. Если рост человека больше или равен 1,90 м, он будет абсолютно точно считаться высоким, а если его рост находится на интервале между этими двумя значениями, то для определения степени принадлежности к множеству нужно умножить его рост в метрах на 10, вычесть 16, а затем разделить полученное число на 3. Если известно, что степень высоты человека равна 0,3, как, например, для автора этой книги, то этого достаточно, чтобы определить его рост.

В других случаях график функции принадлежности может иметь форму треугольника или трапеции. Если считать, например, что «слишком холодно» — это любая температура ниже +10 °C, «слишком жарко» — температура выше +30 °C, а идеальная температура находится на интервале между +18 и +22 *С, то график функции принадлежности ко множеству благоприятных температур будет напоминать изображенный на рисунке ниже. Если мы сравним этот график с климатограммами для разных городов, то сможем выбрать тот, где будет комфортнее всего жить, или, по крайней мере, исключим совсем уж неподходящие варианты.

Функция принадлежности нечеткого множества благоприятных температур. График функции имеет форму трапеции.

Нечеткие множества, имитирующие шкалу оттенков серого, описывающую реальность, помогают разрешить некоторые парадоксы, поскольку благодаря им мы можем рассматривать понятия в самом широком смысле. Представим, что в кафе нам подали очень горький кофе. Скорее всего, прежде чем выпить кофе, вы добавите в него немного сахара. Нет сомнений, что если мы добавим в чашку единственную крупинку сахара, вкус совершенно не изменится. Следовательно, действие «добавить крупинку сахара» не влияет на горечь кофе. Добавим еще одну крупинку сахара, затем еще и еще одну — всего десять ложек сахара. Если наше исходное предположение верно и ни на одном шаге вкус не изменился, значит кофе, в который добавлено десять ложек сахара, по вкусу ничем не будет отличаться от горького кофе, который нам подали в начале, — этот результат выглядит, по меньшей мере, подозрительно. Нетрудно понять, что ситуация не описывается классическими множествами, о которых мы говорили в предыдущей главе. Горький кофе, который невозможно пить, и слишком сладкий, приторный кофе разделяет не бездна, а пологий склон. Хотя мы не способны ощутить изменение вкуса кофе при добавлении в него всего одной крупинки сахара, степень принадлежности ко множеству «кофе, приятного на вкус» возрастет, сколь бы малым ни было изменение вкуса. Если мы добавим в кофе еще одну крупинку, степень принадлежности к этому множеству возрастет еще больше, и, наконец, когда мы добавим в кофе в общей сложности десять ложек сахара, его вкус станет невыносимо приторным.

При обобщении любого математического понятия (это и попытался совершить Заде, введя нечеткую логику) нужно обязательно убедиться в том, что новая теория корректна для всех исходных объектов. Классические множества являются частными случаями нечетких множеств: для них функция принадлежности из всего бесконечного множества значений принимает только два значения: 0 и 1. Тем не менее отношение включения множества в другое, а также операции объединения и пересечения, которые, как вы увидели в главе 3, являются основными в теории множеств, обобщить не так просто. На эти и другие вопросы Заде дал ответ в своей статье, опубликованной в 1965 году.

Обозначим как А и В два нечетких множества, соответствующие функции принадлежности к которым мы будем обозначать f A и f B . Это означает, что для данного элемента х число f A ( х ), указывающее степень принадлежности х к множеству А , заключено в интервале от 0 до 1, и это же верно для f B( х ). Использовав эту нотацию, Заде установил, что А включено в В тогда, когда для любого элемента х число f A ( х ) меньше или равно f B( х ).