Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

Французский математик Жан-Пьер Серрна церемонии вручения Абелевской премии 3 июня 2003 года

(фотография предоставлена Институтом Абеля)

Серр, который в 1955 году участвовал в семинаре, проводимом Таниямой и Симурой, заинтересовался гипотезой Фрая и написал письмо своему коллеге и соотечественнику Жан-Франсуа Местру. Позднее он оформил это письмо в виде статьи. В этой статье он использовал формулировки, несколько отличающиеся от тех, которыми пользовался Фрай (заполнив пробелы с помощью так называемых модулярных представлений Галуа), и предположение Фрая официально стало считаться гипотезой. Если эта гипотеза, получившая название эпсилон-гипотезы, была верна, то между гипотезой Таниямы — Симуры и великой теоремой Ферма устанавливалась следующая взаимосвязь: если первая была верной, то вторая — ложной, и наоборот.

* * *

РУКА, КАЧАЮЩАЯ КОЛЫБЕЛЬ

Американец Барри Мазур(р. 1937) — одна из наиболее выдающихся фигур в теории чисел последних лет. Во многом благодаря его статье «Модулярные кривые и идеал Эйзенштейна» на модулярность снова обратили внимание молодые математики, в частности, Фрай, Рибет и Уайлс. Мазур называл теорию чисел разделом математики, где «без всяких усилий появляется бесчисленное множество задач. Они, как цветы, приятно пахнут, но их шипы больно колют любого, кто пытается прикоснуться к ним».

ГЕРХАРД ФРАЙ , МАТЕМАТИК И КРИПТОАНАЛИТИК

Фрай родился в 1944 году в немецком округе Тюбинген. Он поступил в местный университет, где занимался физикой и математикой. Его специализацией была теория чисел. Среди его наиболее важных достижений, помимо эпсилон-гипотезы, — метод, известный как спуск Вейля, используемый для решения эллиптических кривых на конечных полях. Открытие этого метода положило конец одному из перспективных направлений криптографии.

* * *

От гипотезы к теореме

Привлекательность эпсилон-гипотезы была такова, что попытки доказать ее предпринимали все специалисты по теории чисел. Среди них был блестящий молодой математик из США Кеннет Рибет, еще в 1985 году получивший должность профессора в Калифорнийском университете в Беркли. Рибет учился у Мазура в Гарварде, где защитил докторскую диссертацию. Он, как и его учитель, был очарован тем, что между теорией чисел и алгебраической геометрией существует удивительная связь, которую в свое время открыл Куммер, и что эта связь может повлиять на способ доказательства теоремы Ферма. Рибет занялся доказательством эпсилон-гипотезы и наконец увидел свет в конце туннеля. Предоставим ему слово:

«Я был абсолютно поражен. Я вернулся домой, спотыкаясь, будто витая в облаках. Я сел и снова проверил все доказательство и увидел, что оно было верно, действительно верно. Я посетил конференцию (Международный конгресс математиков, который проводился в университете Беркли, Сан-Франциско, в 1986 году. — Примеч. автора), рассказал об этом немногим, и вскоре об этом узнали почти все. Ко мне подходили и спрашивали: „Вы правда доказали эпсилон-гипотезу?“ Я помедлил около минуты и вдруг сказал: „Да. Я доказал ее“».

Это простое, искреннее признание помогает понять, что может происходить в голове у математика, когда он находит посреди океана неведения крупицу истины, подлинной истины, ведь математик как никто другой стремится к истине в самом точном и абсолютном смысле этого слова. Сам Рибет позднее вспоминал, что когда был докторантом, то говорил о великой теореме Ферма, перефразируя Гаусса: «Это одна из тех задач, о которых нельзя сказать ничего полезного». В то время Рибет не подозревал, какую роль в ее доказательстве сыграет его работа всего через несколько лет. Эпсилон-гипотеза ушла в прошлое — на смену ей пришла теорема Рибета. Теперь к доказательству последней теоремы Ферма могли приступить математики последнего поколения.

Все стало окончательно ясно: тот, кто докажет гипотезу Таниямы — Симуры, докажет последнюю теорему Ферма. Легко сказать, но трудно, очень и очень трудно сделать. В конце концов, с момента симпозиума, на котором Танияма представил первоначальный вариант гипотезы, прошло почти 40 лет, и до сих пор никто ни на шаг не смог приблизиться к ее доказательству. Подавляющее большинство специалистов по теории чисел считали, что эта гипотеза будет доказана лишь спустя много десятилетий. Вспомним слова Мазура: «Удивительная гипотеза… но в тот момент ее проигнорировали, так как она слишком опередила свое время». Значительные трудности представлял тот факт, что и модульных форм, и эллиптических кривых (связь между этими математическими объектами устанавливала гипотеза) бесконечно много. Тот, кто рискнул бы взяться за громадный труд по доказательству гипотезы Таниямы — Симуры, должен был бы решить не только основную задачу, но и множество более мелких, но столь же трудных. Малейшая ошибка могла свести на нет результаты многолетнего труда. Если сравнить теорему Ферма с математическим Эверестом, то можно сказать, что Танияма, Симура, Мазур, Фрай, Серр и Рибет нашли новый путь к вершине, ранее незаметный, но на этом пути беспрестанно бушевал сильнейший ветер.