Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

* * *

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И КРИПТОГРАФИЯ

Существуют математические операции, для которых очень сложно произвести обратные операции, например, поиск простых множителей для очень больших целых чисел. В алгоритме RSA, одном из основных алгоритмов современной криптографии, это действие используется для создания ключей, которые практически невозможно взломать. Другая операция, которая считается «необратимой», — нахождение дискретного логарифма для эллиптической кривой. В 2009 году правительство США начало применять определенные алгоритмы шифрования, в которых используется это свойство, для передачи сверхсекретной информации.

* * *

Вернемся к эллиптическим уравнениям. Какие решения может иметь одно из таких уравнений, например, по модулю 2? Их может быть не более 4, а именно:

х = 0, у = 0,

х = 0, у = 1,

х = 1, у = 0,

х = 1, у = 1.

С помощью такого мощного инструмента, как модулярная арифметика, можно говорить не только об «абсолютных» решениях кубических уравнений, которые сложно обнаружить, но и о числе решений по каждому модулю. Так, любое эллиптическое уравнение определяется бесконечным E -рядом, где значением каждого элемента E 1, Е 2, Е 3 … является число решений этого уравнения по модулю 1, 2, 3 и так далее. Для уравнения, имеющего два решения по модулю 2, например (0; 0) и (1; 0), член этого ряда Е 2 = 2.

Второй мир: модулярные функции

Модулярные формы в значительной степени являются творением Анри Пуанкаре, одного из самых выдающихся ученых всех времен, просветителя и философа науки. Так, некоторые его работы по математической физике непосредственно предшествовали теории относительности Эйнштейна. Пуанкаре был последним математиком, который обладал глубокими знаниями во всех разделах математики своего времени.

Сейчас это невозможно, так как современная математика охватывает слишком большое количество областей. Пуанкаре, который уже в юном возрасте стал известным математиком, обладал, подобно Эйлеру и Гауссу, фотографической и великолепной пространственной памятью. Возможно, это объясняет его успехи в созданной им дисциплине, топологии, которая изучает пространственные свойства объектов, остающиеся неизменными при определенных преобразованиях. Топология — царство, где правит симметрия, и очень немногие математические объекты обладают столь обширной симметрией, как модулярные формы.

Французская марка, посвященная Жюлю Анри Пуанкаре.

* * *

ПОСЛЕДНЯЯ ТЕОРЕМА ПУАНКАРЕ

Хотя ни одной из теорем не удалось стать такой же известной, как великая теорема Ферма, в математике существует несколько гипотез, доказательство каждой из которых становится настоящим историческим событием. Среди них — гипотеза Гольдбаха и «первая среди равных» гипотеза Римана, которые относятся к теории чисел, а также задача о равенстве классов Р и NP — ключевая задача вычислений. В топологии такой важной задачей является так называемая гипотеза Пуанкаре. К удивлению многих, в 2002–2003 годах российский математик Григорий Перельман опубликовал схему доказательства этой гипотезы, которое затем было дополнено другими учеными и в 2006 году было официально признано верным. Перельман, блестящий и в такой же степени экстравагантный математик, отказался от присужденной ему в том же году Филдсовской премии и, ссылаясь на то, что научный мир погряз в нечестности, спустя некоторое время полностью оставил математику. Как и для остальных задач, включенных Институтом Клэя в 1999 году в список семи задач тысячелетия, доказательство гипотезы Пуанкаре было оценено в один миллион долларов. В 2010 году Перельман отказался от этого вознаграждения.

Филдсовская медаль, от которой отказался Перельман, была присуждена ему за доказательство гипотезы Пуанкаре.

* * *

Получить какое-то визуальное представление модулярной формы невозможно. Достаточно сказать, что она находится в четырехмерном пространстве, которое подчиняется законам геометрии, мало похожим на привычные нам. В повседневной жизни нам известно, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной, о чем писал еще Евклид. Однако начиная с XIX века известно, что это утверждение не является необходимым и продиктовано лишь соображениями удобства. Можно определить альтернативную геометрию, в которой параллельных прямых не существует вовсе либо, напротив, через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. В последнем случае речь идет о так называемой гиперболической геометрии, в которой плоскость, представленная в двух измерениях, принимает следующие формы: