Пере Грима - Том13. Абсолютная точность и другие иллюзии. Секреты статистики

Среди полученных им результатов отметим подробный анализ отпечатков пальцев — именно по рекомендации Гальюна они начали использоваться для опознавания преступников. Эта система применяется и сейчас. Он также изучал механизмы наследственности, заметив, что дети высоких родителей чаще всего также высокие, но не настолько, как родители, и что дети невысоких родителей также обычно низкорослые, но не настолько, как их родители. Этот эффект возврата к среднему значению он назвал регрессией к среднему. Этот новый термин занял важное место в современной статистике. Чтобы наглядно представить вариацию, вызванную случайными причинами, он разработал устройство под названием квинкункс. В это устройство опускались шары, которые затем прокатывались мимо стержней, расположенных в шахматном порядке, сталкивались и случайным образом падали влево или вправо. Окончательное расположение шаров по форме напоминало колокол Гаусса. Квинкункс до сих пор используется для наглядной демонстрации нормального распределения. Компьютерные модели квинкункса можно найти в Интернете.

* * *

Мы вычислили вероятность того, что сначала выпадет три решки ( Р ), затем два орла ( О ) в таком порядке: РРРОО . Но нам нужно вычислить вероятность выпадания трех решек и двух орлов в произвольном порядке, иными словами, вероятность того, что выпадет последовательность РРРОО , или ООРРР , или РОРОР или любой из вариантов.

Искомая вероятность будет равна сумме вероятностей каждого из этих исходов. Вероятности будут складываться по правилу «или», так как эти события являются независимыми (орел и решка не могут выпасть в одном и в другом порядке одновременно). Так как вероятность выпадения каждого из этих исходов одинакова, мы можем умножить вероятность выпадения орлов и решек в заданном порядке на число возможных вариантов (и здесь нам не обойтись без помощи комбинаторики).

Данные n предметов можно упорядочить п\ разными способами. Например, если у нас есть 5 книг и 5 мест на полке, первую книгу можно поставить на любое из пяти возможных мест, вторую — на любое из оставшихся четырех, третью — на любое из трех, четвертую — на любое из двух, а для пятой книги останется только одно место. Таким образом, общее число различных вариантов равно 5·4·3·2·1 = 120. В нашем случае также даны 5 «предметов», но не все они отличаются между собой: у нас есть три предмета, одинаковых между собой, и еще два, одинаковых между собой, поэтому мы можем не учитывать перестановки одинаковых предметов. То есть нам нужно разделить общее число вариантов на 3! и 2!. Общее число исходов, при которых выпадет 3 решки и 2 орла, равно

5!/(3!·2!) = 10

Теперь у нас есть все данные, необходимые для вычисления искомой вероятности. Она равна

Зачем нам знать вероятность того, что при пяти бросках монеты в произвольном порядке три раза выпадет решка? Эта задача сама по себе не представляет большого интереса, но далее мы покажем, что аналогичным способом можно решить много других, очень интересных задач.

29 апреля 2004 года некий читатель обратился в редакцию популярной газеты с вопросом: «Я использовал Excel , чтобы сгенерировать случайные числа с помощью функции «=СЛЧИС ()», но эти числа всегда очень маленькие и почти равны нулю. Мне нужна система, чтобы сгенерировать шесть чисел, не превышающих 49, для простой лотереи». По-видимому, читатель думал, что если число является случайным, то оно не подчиняется никаким правилам. Это не совсем так. Существует несколько видов случайных величин. Они делятся на непрерывные, например вес, длина, плотность и так далее, и дискретные (принимающие одно из множества отдельных значений), например число неисправных деталей в партии, количество автомобилей, приезжающих на заправку ежеминутно, и другие. В действительности существует целый «каталог» различных видов распределения вероятностей. Всякий раз, когда мы имеем дело со случайной величиной, следует определить, не подчиняется ли она какому-то конкретному закону распределения вероятностей. В большинстве случаев это действительно так, и нам не потребуется выводить формулы для расчета вероятностей, среднего значения и других интересных параметров: это уже сделали до нас.