Josep Carrera - Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Этот труд также был утерян. Возможно, он был сводом всех знаний того времени о конических сечениях и имел педагогическую направленность.

Во введении мы сказали, что Пифагор выделял четыре математы. Евклид должен был рассмотреть их все, если хотел предложить полный образовательный курс математики. Неудивительно, что ему приписываются следующие тексты.

Законы природы — это математические мысли бога.

Евклид

«Явления» — книга о началах астрономии, где описывается видимая часть движущейся небесной сферы (кроме движения планет). В ней рассматриваются восходы и закаты звезд и подразумевается, что читатель знаком с основами сферической геометрии, которая не объясняется в «Началах». Небольшой трактат «Начала музыки», об авторстве которого нет точных сведений, содержит теорию музыкальных интервалов, изложенную в духе пифагорейской школы. «Оптика» — сочинение о перспективе, в котором, как и в «Явлениях», ставится вопрос о нашем знании того, что мы видим. Его цель — установить размеры видимого в зависимости от положения наблюдателя и от масштабов наблюдаемого объекта. Евклид утверждал, что видимость создается по направлению от глаза к предмету, что считалось верным, пока арабский эрудит аль-Хайсам (965-1039) в своем труде «Китаб аль-Маназир» («Книга оптики») не заявил прямо противоположное: мы видим, поскольку глаз получает один или несколько лучей света, отражаемых предметом. Несмотря на это книга Евклида считается одним из важнейших трудов по оптике из тех, что предшествовали работам Ньютона, а такие мыслители Возрождения, как Филиппо Брунеллески, Леон Баттиста Альберти и Альбрехт Дюрер, опирались на Евклида при разработке собственных трактатов о перспективе.

Авторство «Катоптрики» весьма спорно. Тем не менее необходимо сказать, что в ней приведено строгое геометрическое доказательство закона отражения света. Он гласит, что солнечные лучи отражаются под равными углами относительно горизонтальной (или вертикальной) оси. На примере рисунка 1 угол падения 0 равен углу отражения Евклид основывается на геометрическом предложении из Книги 1 «Начал»:

РИС.1

РИС. 2

Предложение 20 .В любом треугольнике сумма двух его сторон больше третьей стороны.

Оно доказывается следующим образом. Если отраженный луч образует два равных угла, мы получим отрезки АС и СВ\ если же эти углы не равны, то мы получим отрезки AD и DB. Проведем прямую СЕ, симметричную отрезку АС, и прямую DE, симметричную отрезку AD. Получим треугольник BED, где сторона BE короче суммы сторон BD и DE. Сумма отрезков АС и СВ меньше, чем сумма AD и DB (см. рисунок 2).

Доказав, что луч по закону отражения всегда проходит наиболее короткий путь между точками А, С и В, Евклид выдвигает интереснейшую гипотезу: сама природа заставляет луч выбирать именно этот, самый короткий путь, следуя так называемому принципу наименьшего времени.

При помощи такого изящного доказательства Евклид выдвинул важнейшую идею: в законах природы всегда задействованы минимальные величины. Это значит, что физическая величина, указанная в задаче, например расстояние, затраченное время, энергия и так далее, всегда будет настолько мала, насколько это возможно. Много веков спустя Пьер Ферма (1601-1665), вероятно, обратился к этой мысли, чтобы сформулировать закон отражения света, который описывает трансформации луча солнца, проходящего через разные среды: сначала через воздух, а затем через воду. Ферма утверждал, что его «путь будет тем, который он преодолеет за меньшее количество времени». Эта гипотеза гениального французского математика была подтверждена Готфридом Лейбницем (1646-1716): он использовал ее для доказательства важности дифференциального исчисления, которое применяется в том числе для нахождения наибольших и наименьших величин. Основываясь на общем принципе определения наименьших величин, швейцарский ученый Леонард Эйлер (1707-1783) создал новую область математики — вариационное исчисление. Но окончательно сформулировал этот основополагающий закон природы Пьер Луи Моро де Мопертюи, назвав его принципом наименьшего действия.

Наконец, Евклиду приписываются два сочинения по механике, цитируемые арабскими переводчиками «Начал», но на самом деле их авторство неясно. «О легкости и тяжести» содержит самое точное изложение аристотелевской динамики свободно движущихся тел, дошедшее до наших дней; «О рычаге», напротив, описывает теорию равновесия, независимую от аристотелевской механики.