Josep Carrera: Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

«Способ получения всех этих чисел Эратосфен назвал решетом, потому что здесь сначала берутся нечетные числа, все вместе и без различий между ними, а затем этим производящим методом отделяются, как посредством решета, первичные числа от составных. Способ решета состоит в следующем. Начинают с тройки, а потом располагают в ряд все числа, кратные трем, пропуская два числа через каждые три и убирая третье. Потом переходят к первому оставшемуся числу, пятерке; пропускают четыре числа и убирают пятое; затем то же проделывают с семеркой, и так дальше, начиная всякий раз с первого неубранного числа».

Хотя Евклид и дал правильное определение простых чисел, а также теорему, чтобы породить совершенные числа, он не снабдил ее никаким примером. Соответствующее предложение может показаться неясным, возможно потому что оно представлено в описательной форме.

Книга IX, предложение 36. Если от единицы откладывается сколько угодно последовательно пропорциональных чисел в двойном отношении до тех пор, пока вся их сумма не станет первым числом, [...] то возникающее число будет совершенным.

Евклид имеет в виду следующее:

Если 1,2, 2 2, 2 3, ..., 2 nпоследовательно удваивать, то их сумма будет

S n=1 + 2 + 2 2+ 2 3+...+ 2 n= 2 n+1-1; если S n— простое число, то Р n= 2 nx S n= 2 nx(2 n+1-1) — совершенное число (четное).

Евклиду удалось получить этот результат, потому что в предложении 35 книги IX он уже дал формулу, необходимую для сложения чисел из последовательности 1, 2, 2 2, 2 3, ..., 2 n. Он также обратил внимание, что единственные рассмотренные делители Р, 1, 2, 2 2, 2 3,..., 2 nи S n, 2 х S n, 2 2х S n, 2 3x S n,..., 2 n-1x S n. Он сложил их и получил результат теоремы: сумму делителей 1, 2, 2 2, 2 3, ..., 2 n,

равную S n= 2 n + 1- 1, и сумму делителей S n, 2 x S ,2 2x S ,2 3x S ,..., 2 n-1x S и (2 n- 1) x S . Сумма двух результатов — Р n= S n+ (2n- 1) х S n= 2 nх S n= 2 nх (2 n + 1- 1). Ч. Т. Д.

В «Арифметике» Никомах Герасский устанавливает, что совершенными числами являются 6,28,496 и 8126. Из этого он делает следующие выводы.

1. Совершенные числа (четные) оканчиваются на 6 и 8 (верно).

2.Они чередуются (неверно).

3.Существует одно совершенное число на каждый десятичный порядок — среди единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее (неверно).

В XVIII веке Эйлер доказал теорему, взаимодополняющую теорему Евклида: каждое совершенное число (четное) имеет вид 2 nх (2 n+1-1), где 2 n+1-1 — простое число. На сегодняшний день все еще существуют нерешенные вопросы относительно совершенных чисел: неизвестно, бесконечен ли их ряд и существуют ли совершенные нечетные числа.

Начнем с последовательности нечетных чисел.

Начиная с 3 уберем третьи числа через каждые два.

Начиная с 5 уберем пятые числа через каждые пять и получим следующее.

И так далее. Вот список простых чисел до тысячи.

Последняя задача, которую стоит разобрать, — это алгоритм получения пифагоровых троек — трех натуральных чисел, подтверждающих теорему Пифагора, например 3, 4, 5; 5, 12, 13 и так далее, то есть таких чисел a, b и с, при которых а 2+ b 2= с 2.