Саймон Сингх - Симпсоны и их математические секреты

e ix = cos x + i sin x

В формуле Эйлера присутствует e i π, и теперь мы можем подставить π вместо x :

e i π= cos π + i sin π

В данном контексте π – это угловой размер в радианах, так что 360° = 2π радиан. Стало быть, cos π = −1, а sin π = 0. Это означает, что:

e i π= −1

Следовательно,

e i π+ 1 = 0

Профессор Кит Девлин, британский математик из Стэнфордского университета и автор блога Devlin’s Angle («Угол Девлина»), придерживается такого мнения: «Как сонет Шекспира схватывает саму суть любви или картина показывает внутреннюю красоту человека, так тождество Эйлера проникает в самые глубины существования».

В беседе с доктором Сарой Гринволд из Аппалачского университета Кен Килер рассказал следующую историю, связанную с его отцом Мартином Килером, которому было присуще интуитивное понимание математики:

Самое большое влияние на меня оказал отец, который был врачом… Он изучал высшую математику только на первом курсе, но я помню, как однажды спросил его, чему равна сумма квадратов первых n чисел, и он за несколько минут смог вывести формулу: n ³/3 + n ²/2 + n /6.

Что меня до сих пор удивляет, так это то, что он сделал это не посредством геометрического (как обычно выводят сумму первых n целых чисел) или индуктивного доказательства. Он предположил, что эта формула должна представлять собой кубический многочлен с неизвестными коэффициентами, а затем определил эти коэффициенты, решив системы из четырех линейных уравнений, выведенных путем вычисления первых четырех сумм квадратов. (И он решил их вручную, без определителей.) Когда я спросил его, как он понял, что эта формула должна представлять собой кубический многочлен, он сказал: «А чем еще она может быть?»

Обычно мы представляем себе фракталы как структуры, состоящие из самоподобных структур в любом масштабе. Другими словами, общая структура объекта сохраняется, когда мы увеличиваем или уменьшаем его масштаб. Как отметил первооткрыватель фракталов Бенуа Мандельброт, такие самоподобные структуры можно найти в природе: «На примере цветной капусты видно, что объект может состоять из множества частей, каждая из которых подобна целому, но имеет меньший размер. Многие растения обладают таким свойством. Облако представляет собой нагромождение форм, напоминающих облака. Приблизившись к облаку, вы увидите не что-то однородное, а такие же неоднородные структуры, только в меньшем масштабе».

Фракталы также известны тем, что имеют дробную (фрактальную) размерность. Для того чтобы получить представление о том, что это такое, проанализируем конкретный фрактальный объект, а именно треугольник Серпинского , который можно построить следующим образом.

Сначала берем обычный равносторонний треугольник и вырезаем из него центральный треугольник, что приведет к образованию первой из четырех фигур с треугольниками, показанных на рисунке ниже. Эта фигура состоит из трех треугольников, в каждом из которых тоже удаляем центральный треугольник, и в результате получаем вторую из четырех фигур. Затем центральные треугольники снова нужно вырезать, что образует третью фигуру с треугольниками. В случае бесконечного повторения этой процедуры будет построена четвертая фигура, которая и является треугольником Серпинского.

Один из способов получить представление о размерности – проанализировать изменение площади объектов при изменении их длины. Например, увеличение длин сторон обычного двумерного треугольника в два раза приводит к увеличению его площади в четыре раза. В действительности увеличение длин сторон любой двумерной фигуры в два раза приводит к увеличению площади этой фигуры в четыре раза. Однако если мы удвоим длины сторон треугольника Серпинского, показанного на рисунке выше, для того чтобы получить показанный ниже треугольник Серпинского большего размера, это не приведет к четырехкратному увеличению его площади.

Увеличение длин сторон треугольника Серпинского в два раза приводит к увеличению его площади в 3 (а не 4) раза, поскольку треугольник большего размера можно построить только из трех экземпляров исходного треугольника меньшего размера, изображенного на рисунке серым цветом. Не вдаваясь в математические детали, можно сказать, что треугольник Серпинского имеет размерность 1,585 (точнее говоря, log 3/log 2 измерений).