Саймон Сингх - Симпсоны и их математические секреты

Три голландских профессора, Г. Риддер, Дж. С. Крамер и П. Хопстакен, написали работу под названием Down to Ten: Estimating the Effect of a Red Card in Soccer («Десять игроков: оценка влияния красной карточки в футболе»), которая была опубликована в 1994 году в Journal of the American Statistical Association. В ней авторы предлагают «модель оценки влияния красной карточки с учетом исходных различий между сильными сторонами команд, а также количества голов, забитых во время матча. Точнее говоря, мы предлагаем неоднородную по времени пуассоновскую модель с учетом воздействия на счет любой стороны в конкретном матче. Мы определяем дифференцированное воздействие красной карточки методом условной оценки максимального правдоподобия вне зависимости от результатов матча».

Авторы работы утверждали, что защитник, который идет на преднамеренное столкновение с нападающим вне штрафной площадки, вносит положительный вклад в игру своей команды, предотвращая гол, однако у этого вклада есть и отрицательный аспект, поскольку данного игрока удалят с поля и он не сможет играть до конца матча. Если инцидент происходит в последнюю минуту матча, то положительный вклад перевешивает отрицательный, потому что игрока удаляют с поля перед самым окончанием матча. Однако если инцидент имеет место в первую минуту матча, то отрицательный вклад превосходит положительный, так как в команде остается всего десять игроков почти на весь матч. Общее воздействие в таких крайних случаях соответствует здравому смыслу, но что происходит, если возможность предотвратить гол посредством преднамеренного столкновения появляется посредине матча? Стоит ли идти на такой шаг?

Профессор Риддер и его коллеги использовали математический подход для определения точки перехода, или того момента матча, после которого удаление с поля становится целесообразным, если подразумевает шанс предотвратить гол.

Если исходить из предположения, что команды хорошо подобраны и нападающий почти наверняка забьет гол, тогда целесообразно пойти на столкновение в любое время после шестнадцатой минуты матча продолжительностью девяносто минут. Если вероятность гола составляет 60 процентов, тогда защитнику следует подождать до сорок восьмой минуты матча, и только потом идти на столкновение с нападающим. Если вероятность гола всего 30 процентов, то защитнику необходимо подождать до семьдесят первой минуты матча, прежде чем делать свое грязное дело. Это не самый достойный способ применения математики в спорте, но все же данный результат можно считать полезным.

e iπ + 1 = 0

Тождество Эйлера примечательно тем, что оно объединяет пять фундаментальных математических констант: 0, 1, π, e и i . Наше краткое объяснение поможет пролить свет на то, что значит возвести e в мнимую степень, что, в свою очередь, позволит показать, почему тождество верно. Но для этого необходимо иметь общее представление о некоторых специальных математических понятиях, таких как тригонометрические функции, радианы и мнимые числа.

Начнем с ряда Тейлора, который позволяет представить любую функцию в виде суммы бесконечного числа членов ряда. Если вы хотите больше узнать о построении ряда Тейлора, вам придется изучить этот вопрос самостоятельно, но для наших целей достаточно того, что функцию e x можно представить в следующем виде:

Здесь x может иметь любое значение, поэтому мы можем подставить ix вместо x , где i ² = −1. Таким образом, мы получим следующий ряд:

Далее сгруппируем члены ряда в зависимости от того, есть ли в них i или нет:

В качестве на первый взгляд неуместного отступления можно также найти пару рядов Тейлора, представляющих функции синуса и косинуса, что дает следующий результат:

Следовательно, мы можем записать e ix через sin x и cos x :