Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

Для любого нечетного p если выполняются любые два из следующих условий, то выполняется и третье:

1. p = 2 k ± 1 или p = 4 k ± 3 для некоторого натурального числа k ;

2. число 2 p− 1 – простое (простое Мерсенна);

3. число (2 p + 1)/3 – простое (простое Вагстаффа).

(Paul Bateman, John Selfridge and Samuel Wagstaff Jr., 1989)

Существует бесконечное число простых Мерсенна, причем число простых Мерсенна, меньших x , приблизительно равно eγ ln ln x /ln 2, где γ – постоянная Эйлера, приблизительно равная 0,577 (Hendrik Lenstra, Carl Pomerance and Samuel Wagstaff Jr., не опубликовано).

Для любого целого числа n >1 существует по крайней мере одно простое число между n ( n – 1) и n ² и по крайней мере еще одно простое число между n ² и n ( n + 1) (Ludvig Henrik Ferdinand Oppermann, 1882).

Для любого положительного четного n существует бесконечное число пар последовательных простых чисел с разницей в n (Alphonsede Polignac, 1849).

Для n = 2 это утверждение соответствует гипотезе о простых числах-близнецах (см. ниже). Для n = 4 она означает, что существует бесконечно много пар «двоюродных простых чисел» ( p, p + 4). Для n = 6 она означает, что существует бесконечно много пар простых чисел ( p, p + 6), известных как sexy (от латинского названия числа 6); при этом между числами p и p + 6 простых чисел нет.

Всякий интервал [ x m, y n ] (то есть любое множество чисел от x m до y n ) содержит по крайней мере одно простое число, за исключением [2³, 3²], [5², 3³], [2 5, 6²], [11², 5³], [3 7, 13³], [5 5, 56²], [181², 21 5], [43³, 282²], [46³, 312²], [22434², 55 5] (Stephen Redmond and Zhi-Wei Sun, 2006).

Эта гипотеза подтверждена для всех интервалов [ x m, y n ] до 10¹².

Если π ( x ) есть число простых чисел вплоть до x , включая x , то π ( x + y ) ≤ π ( x ) + π ( y ) для x, y ≥ 2 (Godfry Harold Hardy and John Littlewood, 1923).

Существуют технические соображения, согласно которым можно ожидать, что это предположение окажется ложным, но первое нарушение возникнет, скорее всего, при очень больших величинах x , вероятно, больших, чем 1,5 × 10 174, но меньших, чем 2,2 × 10 1198.

Существует бесконечно много простых чисел p , таких, что число p + 2 тоже простое.

25 декабря 2011 г. PrimeGrid – «проект распределенных вычислений», в котором используются свободные ресурсы на компьютерах добровольцев, пожелавших принять в нем участие, объявил наибольшую известную на сегодняшний день пару простых чисел-близнецов:

3 756 801 695 685 × 2 666 669± 1.

Каждое из этих чисел содержит 200 700 знаков.

В интервале до 10 18содержится 808 675 888 577 436 пар простых чисел-близнецов.

Стоит подумать о Древнем Египте, и в голову сразу же приходят пирамиды, в первую очередь Великая пирамида Хеопса в Гизе, самая большая из всех, и стоящая рядом с ней пирамида Хефрена, чуть поменьше, и относительно небольшая пирамида Микерина. Известны остатки более чем 36 крупных и сотен более мелких египетских пирамид – от громадных и почти полностью сохранившихся до простых отверстий в земле, содержащих лишь несколько обломков камня от погребальной камеры, а иногда и того меньше.

О форме, размерах и ориентации пирамид написаны огромные тома. Большая часть их содержимого умозрительна; на основе различных численных соотношений выстраиваются весьма амбициозные цепочки рассуждений. Особенно любят исследователи Великую пирамиду: с чем только ее ни связывали – и с золотым сечением, и с числом π, и даже со скоростью света. К подобным рассуждениям возникает столько вопросов, что трудно воспринимать их серьезно: в любом случае данные, на которых они основаны, часто неточны; к тому же с таким количеством измерений и параметров всегда можно подобрать нужную комбинацию.

Один из лучших источников по пирамидам – книга The Complete Pyramids Марка Ленера. Помимо прочего в ней можно найти данные о наклоне граней пирамид: углы между плоскостями, проходящими через треугольные грани, и квадратным основанием пирамиды. Вот несколько примеров: