Рафаель Роузен - Математика для гиков

Математика может показать основные аспекты человеческого существования, которые, откровенно говоря, поражают разум. Например, какова вероятность того, что вы только что вдохнули молекулы, которые выдохнул на смертном одре тот, кто жил тысячи лет назад? Математика может ответить на этот вопрос с удивительно высокой степенью точности. Как такое возможно?

Проблема и ее решение изложены в книге «Математическая безграмотность и ее последствия» Джона Аллена Паулоса, профессора математики в Темпльском университете в Филадельфии. Паулос спрашивает, можем ли мы определить, вдохнули ли мы в этот самый момент молекулы, которые выдохнул Юлий Цезарь в последнюю секунду своей жизни после того, как Брут нанес ему роковой удар кинжалом. Оказывается, если вы принимаете несколько предварительных условий, то вероятность этого больше, чем 99 %!

1. Во-первых, вы должны считать, что те молекулы, которые выдохнул Цезарь, распространились более или менее равномерно по всей земной атмосфере. (В конце концов, прошло более 2000 лет с момента его смерти.)

2. Во-вторых, вы должны считать, что большинство из них до сих пор свободны (не связаны с другими молекулами).

Теперь начнем: допустим, что в атмосфере всего G (какое-то число) молекул. Еще предположим, что Цезарь выдохнул Z (другое число) из них. Так что вероятность того, что вы вдохнули одну из этих молекул, равна Z/G. Так как вероятности всегда меньше 1, то шанс, что вы не вдохнули одну из этих молекул, равен 1–Z/G.

Теперь представим, что вы вдохнули три молекулы: из-за принципа умножения, вероятность того, что ни одна из этих молекул не была выдохнута Цезарем, равна [1–Z/G] 3. Естественно, этот принцип применим к любому числу, поэтому мы можем обобщить, что если вы сейчас вдохнули Т молекул, то вероятность того, что ни одну из них не выдохнул Цезарь, равна [1–Z/G] T.

Поэтому вероятность того, что вы вдохнули хотя бы одну из этих молекул, можно представить, как 1–[1–Z/G] T. А так как Паулос вычислил, что Z и Т, возможно, равны 2,2 × 10 22, а G равна 10 44, то вероятность составляет около 99. Невероятно.

В этих расчетах о дыхании Цезаря мы сделали ряд (разумных) предположений. Предположения на самом деле играют большую роль в математике в целом. Например, Евклид основывал свои геометрические соображения на пяти постулатах, один из которых утверждает, что прямая линия может быть проведена между двумя любыми точками. А другой – что все прямые углы равны.

Компьютеры повсюду: начиная со смартфонов в вашем кармане до ноутбука в рюкзаке и гигантских серверов, которые позволяют Amazon обрабатывать онлайн-покупки, – вычислительные устройства проникли во все уголки повседневной жизни. Но как именно они работают? Как металлические компоненты внутри корпуса компьютера позволяют вам сидеть в Интернете, делиться фотографиями с друзьями или просто складывать или вычитать числа?

Ответ кроется в математике. Компьютерные схемы создаются в соответствии с принципами, изложенными Джорджем Булем, английским математиком, который жил с 1815 по 1864 год. Буль стал известен тем, что применил алгебраические методы к логике, дисциплине, которая концентрируется на правилах, по которым можно приходить к выводам, основанным на предпосылках. Классический пример логического аргумента – или набора утверждений, которые в сочетании с разумом обосновывают положение, – приводит нас к Сократу, древнегреческому философу. Вот этот аспект:

Все люди смертны.

Сократ – человек.

Следовательно, Сократ смертен.

Этот вид аргумента, известный как силлогизм, интересен, так как если первые два утверждения верны, то третье утверждение тоже должно быть правдой. И нам не обязательно использовать «люди», «смертен» и «Сократ». Мы могли бы их заменить на что угодно. Вот другая версия:

У всех птиц есть крылья.

Тукан – птица.

Следовательно, у тукана есть крылья.

Но логика может применяться не только к таким простым понятиям, как «люди» и «туканы». Она также относится к высказываниям, то есть утверждениям, которые могут быть истинными или ложными. Эти утверждения можно объединить с помощью слов «и», «или» и «не». Получившиеся комбинации могут иметь свою истинность значения. Вот несколько примеров высказываний: