Кьяртан Поскитт: Математика для взрослых

Тайны таблицы умножения

В этой таблице показаны все результаты умножения от 1 × 1 до 10 × 10. Всего здесь 100 результатов. Первым делом давайте избавимся от некоторых из них.

При умножении на 10 в конец числа просто добавляется ноль. Это слишком легко и при переходе к умножению больших чисел нам не понадобится. Так что исключим из таблицы 10-ю строку и 10-й столбец.

Если поменять множители местами, ответ останется тем же. Например, и 3 × 7 и 7 × 3 равно 21. Поэтому уберем из таблицы все повторяющиеся результаты.

Итак, мы избавились от более чем половины ячеек. Посмотрим, что осталось.

Числа в серых ячейках называются квадратами целых чисел, или просто квадратами. Это результаты умножения каждого числа на само себя. Например, вдоль каждой стороны шахматной доски 8 клеток, поэтому полное количество клеток на доске будет равняться восьми в квадрате. Записывают это так: 8 2, что соответствует 8 × 8 = 64.

Если вы ненавидите зубрить таблицу умножения, можете заполнить ее ячейки еще одним способом. Сначала можно просто складывать нечетные числа 1, 3, 5, 7 и т. д. Начинаем с 1 + 3 = 4. Затем прибавляем 5, получаем 9, затем 7, получаем 16… Так вы вычислите квадраты всех чисел.

Если взять любую ячейку с квадратом числа и вычитать из нее нечетные числа, начиная с 1, то получатся значения по диагонали, идущей в другую сторону от исходной ячейки.

Таким образом, начав с 36 и отняв 1, получим 35, отняв 3, получим 32, вычтя 5, получим 27.

(Сравнив эту диаграмму с таб­лицей умножения, вы убедитесь, что все совпадает.)

Аналогичным способом, но с помощью четных чисел (2, 4, 6, 8…) можно заполнить и остальные ячейки. Посмотрите на диагональ, идущую ниже диагонали квадратов, ту, где стоят числа 2, 6, 12, 20… Эти значения можно получить, начав с 2, затем прибавив 4, затем 6, потом 8 и т. д. А взяв любое из этих чисел (например, 20), можно найти значения вдоль идущей в другую сторону диагонали — вычитая 2, затем 4, потом 6 (например, 20 – 2 = 18, 18 – 4 = 14 и 14 – 6 = 8).

Такие последовательности нечетных и четных чисел позволяют вывести всю таблицу умножения, ни разу при этом не выполнив умножения как такового!

Фокус с тремя числами

Возьмите три любых последовательных числа: при перемножении первого и последнего всегда получится значение на единицу меньше, чем квадрат числа посередине.

Взяв числа 6, 7, 8 и сверившись с таблицей умножения, мы убедимся, что 6 × 8 = 48, а 7 × 7 (или 72) = 49.

Так будет с любыми последовательно идущими числами. Если известно, что 148 2= 21 904, можете быть уверены, что 147 × 149 = 21 903.

(Почему так происходит? Это одна из тех маленьких загадок, которые мы научимся решать когда перейдем к разделу «Алгебра».)

Простые числа

Простое число делится только на само себя и единицу. Например, число 10 не является простым (оно делится на 1, 2, 5 и 10), число 12 тоже (делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12), а вот число 11 — простое (делится только само на себя и на 1). Если попробовать упаковать числа в ящики, не оставляя пустых мест, с простыми числами возникнут сложности, поскольку разделить их на равные части не получится.

Наименьшее простое число — это 2. Также это единственное четное простое число, поскольку все остальные четные числа делятся на 2. Следующие простые числа: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… и так далее до бесконечности.

Здесь представлены все числа от 1 до 100, причем числа в белых квадратиках — простые. Легко понять, где простое число наверняка не встретится: со второй строки и ниже простые числа не могут заканчиваться на 2, 4, 6, 8 или 0 (тогда они делились бы на 2) и на 5 (тогда они делились бы на 5). Что никому до сих пор не удалось выяснить, так это где обязательно должно появиться простое число. Был момент всеобщей радости из-за числа 31, так как поскольку оно простое, простыми также являются 331, 3331, 33 331, 333 331 и т. д. Казалось, любая последовательность троек с единицей в конце даст простое число, и так считали до тех пор, пока кто-то не обнаружил, что 19 607 843 × 17 = 333 333 331. Кстати, если вам удастся найти между простыми числами общую закономерность, ваше имя будут помнить еще долго после того, как имена всех знаменитостей, которыми переполнена сейчас земля, канут в Лету.