Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Фишер одобрительно отзывался о работе Митчелла, совершенно ясно давая понять, что он видит в ней аналогию между аргументацией Митчелла и классическим доказательством от противного: «Сила, которая поддерживает данный вывод, – это, если рассуждать логически, простая дизъюнкция: либо имеет место крайне редкий случай, либо теория случайного распределения не соответствует действительности» {117}.

Весьма убедительный аргумент, из которого сделан правильный вывод: Плеяды – на самом деле не оптическое совмещение, а реальное скопление звезд – нескольких сотен взрослых звезд, а не только те шесть, видимые невооруженным глазом. Тот факт, что мы видим много других очень плотных звездных скоплений, подобных Плеядам (намного более плотных, чем это было бы возможно, если бы они возникли по воле случая), – это веское доказательство в пользу того, что звезды расположены в пространстве не в случайном порядке, а скорее образуют группы под воздействием некоего реального физического феномена, существующего в свободном пространстве.

Но есть и плохая новость: доказательство от маловероятного, в отличие от его аристотелевского предшественника, в общем случае нельзя считать логически состоятельным. Это доказательство вовлекает нас в мир собственных логических противоречий. Джозеф Берксон, долгое время возглавлявший отделение медицинской статистики в клинике Maйo, открыто критиковал методику, которую считал ненадежной {118}. Именно он предложил знаменитый пример, демонстрирующий подводные камни данного метода. Предположим, у вас есть группа из пятидесяти испытуемых, в отношении которых вы выдвигаете гипотезу ( Н ), что они – люди. Вы видите, что один из них альбинос ( О ). В принципе альбинизм – крайне редкое явление, встречающееся не более чем у одного из 20 тысяч людей. Таким образом, если исходить из того, что гипотеза Н верна, вероятность того, что вы обнаружите альбиноса среди пятидесяти испытуемых, достаточно мала, менее чем 1 из 400 [125], или 0,0025. Следовательно, p -значение (вероятность наблюдения О при условии Н ) намного меньше 0,05.

Это неизбежно приводит нас к умозаключению, что с высокой степенью статистической достоверности гипотеза Н неверна, а значит, испытуемые, входящие в состав данной выборки, – не люди.

Возникает большой соблазн считать, что выражение «очень маловероятное событие» означает то же, что и «по существу невозможное событие», а затем все чаще произносить слова «по существу» только мысленно, пока мы вообще не перестанем принимать их во внимание [126]. Однако невозможное и маловероятное – это совсем не одно и то же. Невозможное не происходит никогда, а вот маловероятное случается часто. Это означает, что мы становимся на шаткую логическую почву, когда пытаемся делать выводы из маловероятных результатов наблюдений, как того требует доказательство от маловероятного. Когда в розыгрышах лотереи Северной Каролины два раза на протяжении одной недели выпала одна и та же комбинация чисел 4, 21, 23, 34, 39, это подняло много вопросов: может, что-то не так с самой игрой? Однако каждая комбинация цифр может выпасть с точно такой же вероятностью, что и любая другая комбинация. Выпадание чисел 4, 21, 23, 34, 39 во вторник и чисел 16, 17, 18, 22, 39 в четверг – это в точности такое же маловероятное событие, как и то, что произошло на самом деле: вероятность получения двух комбинаций чисел в эти два дня составляет всего один шанс из примерно 300 миллиардов. В действительности вероятность выпадания любой конкретной комбинации чисел во время розыгрыша лотереи во вторник и в четверг составляет один шанс из 300 миллиардов. Если вы придерживаетесь точки зрения, что такой в высшей степени маловероятный результат дает вам основания, чтобы поставить под сомнение честность игры, вы станете человеком, который на протяжении всей своей жизни каждый четверг отправляет уполномоченному по лотереям сердитое письмо, какие бы числа ни выпали из барабана.

Не становитесь таким человеком.

Критическая оценка Митчеллом идеи, что наш взгляд обнаружил бы скопления звезд, даже если бы они были случайно распределены по полю зрения, применима не только к небесной сфере. Этот феномен лег в основу сюжета пилотного эпизода математического детективного сериала Numb3rs [127]. Во всем множестве ужасных преступлений, отмеченных булавками на настенной карте в штаб-квартире ФБР, нет никаких кластеров; следовательно, это работа одного хитрого серийного убийцы, намеренно оставляющего место между жертвами, а не всплески активности психопатов, не связанные между собой. Сюжет был задуман как детективная история, но с математической точки зрения он абсолютно корректен.