Джордан Элленберг - Как не ошибаться. Сила математического мышления

Анализ аналогичного феномена в области инвестиций остается в качестве домашнего задания для читателей.

Самый неприятный философский вопрос в отношении проверки значимости нулевой гипотезы возникает уже в самом начале, еще до применения любого из тщательно продуманных алгоритмов, разработанных Фишером и усовершенствованных его последователями. Этот момент наступает в начале второго шага:

«Предположим, нулевая гипотеза истинна».

Однако в большинстве случаев мы пытаемся доказать обратное: что нулевая гипотеза не является истинной. Лекарственный препарат работает, Шекспир использует аллитерации, в Торе заложено все будущее. С логической точки зрения, кажется сомнительным исходить именно из того предположения, которое мы стремимся опровергнуть, – создается впечатление, будто мы рискуем создать замкнутый круг в доказательстве.

На этот счет можете быть спокойны. Выдвигать предположение об истинности того, что мы втайне считаем ложным, – это проверенный временем метод аргументации, восходящий еще к Аристотелю. Речь идет о доказательстве от противного, reductio ad absurdum. Подобное доказательство – своего рода математическое дзюдо, в ходе которого мы сначала утверждаем, что в конечном счете хотим опровергнуть, планируя перебросить его через плечо и победить посредством его же собственной силы. Если гипотеза приводит к ложным выводам [124], тогда и сама гипотеза должна быть ошибочной. Следовательно, план действий сводится к следующему:

• предположим, гипотеза Н истинна;

• из гипотезы Н вытекает, что определенный факт F не может иметь место;

• однако факт F имеет место;

• следовательно, гипотеза Н ошибочна.

Предположим, кто-то скажет вам, что во время массовой стрельбы в округе Колумбия погибло двести детей. Это гипотеза. Однако проверить такую гипотезу может быть достаточно трудно (я имею в виду, что, если ввести в поисковик Google фразу «количество детей, погибших от огнестрельного оружия в округе Колумбия в 2012 году», прямой ответ получить не удастся). С другой стороны, если мы предположим, что эта гипотеза истинна, тогда в округе Колумбия в 2012 году не могло быть меньше двухсот случаев насильственной смерти. Однако на самом деле таких случаев было меньше – всего восемьдесят восемь {114}. Следовательно, гипотеза человека, сообщившего вам об этом, должна быть ошибочной. Здесь нет никакого замкнутого круга в доказательстве: мы приняли ошибочную гипотезу в качестве предварительного, пробного предположения, тем самым создали противоречащий фактам воображаемый мир, в котором истинна данная гипотеза Н , а затем наблюдали за тем, как этот мир разваливается под натиском реальности.

В такой формулировке метод доказательства от противного кажется почти элементарным, и в каком-то смысле так оно и есть, но, наверное, было бы правильнее сказать, что это инструмент мышления, к использованию которого мы слишком привыкли и часто забываем, насколько он эффективен. В действительности именно простой метод от противного лежит в основе сформулированного Пифагором доказательства иррациональности квадратного корня из двух – доказательства, которое оказывало настолько разрушительное воздействие на существовавшую в то время систему понятий и воззрений, что его автора пришлось убить. Это настолько простое, изящное и компактное доказательство, что я могу записать его на паре страниц.

Предположим, гипотеза Н состоит в следующем:

Н – квадратный корень из двух есть рациональное число.

Другими словами, мы предположили, что √2 – это число, представленное в виде дроби m / n , где m и n – целые числа. Эту дробь можно привести к несократимому виду: если у числителя и знаменателя есть общий делитель, их можно сократить, сохранив дробь неизменной: нет смысла писать 10/14 вместо более простой дроби 5/7. Давайте перефразируем нашу гипотезу:

Н : квадратный корень из 2 равен m / n , где m и n – целые числа, не имеющие ни одного общего делителя.

В действительности это означает, что оба числа m и n не могут быть четными. Если предположить, что оба числа четные, это равносильно тому, чтобы сказать, что у них общий делитель 2. В таком случае, как и в случае дроби 10/14, можно было бы сократить числитель и знаменатель на 2, не изменив саму дробь, а значит, у нас была бы дробь, не приведенная к простейшему виду. Следовательно, утверждение